矩阵运算法则

矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆内容提要•矩阵的下列运算的性质与应用•乘法•转置•初等变换•逆定义，那么，设矩阵nsijnmijbBaA由定义，一个１×ｓ行矩阵与一个ｓ×１列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数：Ｃ＝ＡＢ并把此乘积记作），，，；，，，（＝，其中ｓｋ.212112211njmibabababacckjiksjisjijiijnmijCnmB矩阵的乘积是一个矩阵Ａ与矩阵乘法定义５中矩阵Ｃ(=AB)的元素cij是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和.注意只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘.sjisjijisjjjisiibabababbbaaa22112121,,,nkijkjikcba1矩阵的乘法满足下述运算规律结合律)()(.BCACAB1ACABCBA2)(.).()()(.BABAAB3分配律CABAACB)(矩阵的幂A是一个n阶矩阵,k是一个正整数,规定个kkAAAA矩阵的幂满足规律.,lklklklkAAAAA其中k,l为正整数.对于两个n阶矩阵A与B，一般说.)(kkkBAABkn21000000knk2k1000000例8矩阵的转置定义把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。即A＝(aij)m×n，AT＝(aji)n×m111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaa1101,23A例若TA则矩阵的转置满足下述运算规律AA1TT)(.TTTBABA2)(.TTAA3)(..311201TAB4)(.TTAB(ABC)T＝CTBTAT对于多个矩阵相乘，有1221TTTTttAAAAAA证明：设,,nsijsmijbBaA记.,mnijTTnmijdDABcCAB由矩阵的乘法定义，有,1skkijkjibac而BT的第i行为,,,1siibbAT的第j列为,1jsjaa因此skskkijkjkkiijbaabd11,所以,,,2,1;,,2,1mjnicdjiij即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.方阵的行列式运算满足下述规律:AA1T.AA2n.BAAB3.定义由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）.A记作称为方阵A的行列式,为数）阶矩阵，是其中nBA,(构成的行列式，方阵的行列式TTAA.A，设333231232221131211aaaaaaaaaA1.，332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA333231232221131211aaaaaaaaaA那么332313322212312111TaaaaaaaaaA于是3332312322211312113aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaA333231232221131211aaaaaaaaaA2.设A为3阶矩阵,333231232221131211aaaaaaaaaA.A3那么于是,为数初等矩阵&初等变换Recall练习行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1三种初等变换1设a,11a,12a,13a,21a,22a,23a,31a,32a,33A=计算并总结规律。(１)100010001A(２)100010001AA100l10001A100001010AA100001010(3)(5)(4)(6)1000k0001100010001100l100011000010101000k0001100010001a,11a,12a,13a,31a,32a,33a,21a,22a,23100001010AAa,11a,12a,13a,21a,22a,23a,31a,32a,33100l100011000k0001AAa,11a,12a,13ka,21ka,22ka,23a,31a,32a,33a,11a,12a,13la,11a,21la,12a,22la,13a,23a,31a,32a,33a,11a,12a,13a,31a,32a,33a,21a,22a,23100001010AA100001010a,11a,13a,12a,21a,23a,22a,31a,33a,32定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵的概念行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE对调两行或两列、1行第i行第j第i列第j列10111101),(jiE，得左乘阶初等矩阵用nmijmaAjiEm)(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行第i行第j).(jirrjiAA行对调行与第的第：把施行第一种初等行变换相当于对矩阵，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列与第的第把：施行第一种初等列变换相当于对矩阵i列j列02乘某行或某列、以数k)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kkiE行第i第i列；行的第乘相当于以数)(kriAkimnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211))((行第i，左乘矩阵以AkiEm))(().(列的第A乘数A，其结果相当于以右乘矩阵E以kcikin(i(k))上去(列)加到另一行(列)0乘某行3、以数k)，(列上列加到第的第E乘k或以)(行上行加到第的第E乘k以ijjikccjikrrij1111))((kkijE行第i行第j，左乘矩阵以AkijEm))((mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211))(().(jikrrikjA行上加到第行乘的第相当于把).())((ijnkccjkiAAkijE列上加到第列乘的第把，其结果相当于右乘矩阵类似地，以mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111))((InverseMatrix.,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积Ax=b的形式，其中mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,,如果m=n,可考虑x=b/A,111aaaa一、概念的引入在数的运算中，当数时，0a有aa11a其中为的倒数，a（或称的逆）；在矩阵的运算中，E单位阵相当于数的乘法运算中的1。因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念。二、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果存在阶矩阵则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的一个逆矩阵.B,EBAABn使得nA例设,21212121,1111BA,EBAAB.的一个逆矩阵是AB说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.AA事实上若设和是的逆矩阵，BCA则有,,ECAACEBAAB可得EBBBCAABC.CCE所以的逆矩阵是唯一的。AA的逆记为，即AA-1=A-1A=E。1A例设,0112A.的逆阵求A解设是的逆矩阵,dcbaBA则dcbaAB01121001100122badbca利用待定系数法,1,0,02,12badbca.2,1,1,0dcba又因为0112211001122110,1001所以.21101AABAB矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法1121n11222n21n2nnn.ijijAAAAAAAAAAAAa为行列式中元素的代数余子式A矩阵的伴随矩阵112131122232132333AAAAAAAAAa,11a,12a,13a,21a,22a,23a,31a,32a,33的伴随矩阵EAAA.EAAA先就3阶矩阵给出证明.证设333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有13131212111111AaAaAab23132212211112AaAaAab33133212311113AaAaAab13231222112121AaAaAab23232222212122AaAaAab0AaAaAab33233222312123.,,Ab0b0b333231因此