必修一数学抽象函数习题精选含答案

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数fx()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么fx()在区间[]73，上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选B。2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)0，并且f(x)在(,0)上为增函数。若(1)(a)0af，则实数a的取值范围.二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3．已知函数f(x)=1)(1)(xgxg,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0,g(1)=2,g(x)是增函数.(m)(n)(mn)(m,n)gggR.求证：f(x)是R上的增函数.解:设x1x2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)0。故g(x1)g(x2)0。g(x1)+1g(x2)+10，1)(22xg1)(21xg01)(22xg-1)(21xg0。y5O-7-337x-5f(x1)-f(x2)=1)(1)(11xgxg-1)(1)(22xgxg=1-1)(21xg-(1-1)(22xg)=1)(22xg-1)(21xg0。可以推出：f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。例4．已知fx()对一切xy，，满足ffxyfxfy()()()()00，，且当x0时，fx()1，求证：（1）x0时，01fx()；（2）fx()在R上为减函数。证明：对一切xyR，有fxyfxfy()()()。且f()00，令xy0，得f()01，现设x0，则x0，fx()1，而ffxfx()()()01fxfx()()1101fx()，设xxR12，且xx12，则0121fxx()，fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fxfx()()12，即fx()为减函数。2.证明奇偶性例5．已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。分析：在fxyfxfy()()()中，令xy1，得ffff()()()()11110令xy1，得ffff()()()()11110于是fxfxffxfx()()()()()11，故fx()是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6．已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。解：fx()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，fx()在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，fafaf()()()2402，不等式不成立。（2）当32a时，2342041021)4()4()2(2222aaaaaafafaf解之得，（3）当25a时，fafa()()242faaaaaa()22240210412425解之得，，综上所述，所求a的取值范围是()()3225，，四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。例7．已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。解：设xxR12、且xx12，则xx210，fxx()212，则fxx()2120，2211()[()]fxfxxx2111()()2()fxxfxfx21()()fxfx，故fx()为增函数，又fffff()()()()()32121231452(1)3(22)3(1)ffaaf，2221aa即13a因此不等式faa()2223的解集为aa|13。五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。例8.设函数yfx()定义在R上，当x0时，fx()1，且对任意mn，，有fmnfmfn()()()，当mn时fmfn()()。（1）证明f()01；（2）证明：fx()在R上是增函数；（3）设Axyfxfyf()|()()()，221，BxyfaxbycabcRa{()|()}，，，，，10，若AB，求abc，，满足的条件。解：（1）令mn0得fff()()()000，f()00或f()01。若f()00，当m0时，有fmfmf()()()00，这与当mn时，fmfn()()矛盾，f()01。（2）设xx12，则xx210，由已知得fxx()211，因为x10，fx()11，若x10时，xfx1101，()，由ffxfx()()()011111()0()fxfx，22111()()()()fxfxxfxfx()fxR在上为增函数。（3）由fxfyf()()()221得xy2211()faxbyc()1得axbyc0（2）从（1）、（2）中消去y得()abxacxcb2222220，因为AB()()()24022222acabcb即abc222。例9.已知(x)f是定义在[1,1]上的奇函数，且(1)1f,若,[1,1]ab时，有()()0fafbab.（1）判断函数(x)f在[1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+21)＜f(11x).解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x1x2.由于f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1).因为x1x2,所以x2+(－x1)≠0,由已知有)()()(1212xxxfxf＞0，∵x2+(－x1)=x2－x10∴f(x2)+f(－x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在［－1，1］上是增函数.（2）由不等式f(x+21)＜f(11x)得112111111211xxxx,解得－1x0,即为所求.例10、已知设函数yfx()定义在0x的一切实数，对定义域的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当x1时(x)0f，f(2)1，（1）求证：(x)(x)ff；（2）(x)f在(0,)上是增函数。（3）解不等式22(x(3a4)x2a8a4)2f。