高三数学空间向量专题复习附答案

-1-ABCA1B1C1MyzABCDEFxyzMNA1xD1B1ADBCC1yzEF一、利用向量处理平行与垂直问题例1、在直三棱柱111CBAABC中，090ACB,030BAC,MAABC,6,11是1CC得中点。求证：AMBA1练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM,分别在对角线AEBD,上，且AEANBDBM31,31,求证：//MN平面CDE练习1、在正方体1111DCBAABCD中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADEABCDA1B1C1D1Pxzy-2-ABCDEPxyzFA1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yzE1FA1D1B1DCC1yz2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,60ABC，,2,aPDPBaACPA点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。例2在正方体1111DCBAABCD中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且11ED41D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小例3在正方体1111DCBAABCD中,求二面角11CBDA的大小。-3-A1xD1B1ADBCC1yzEFzyxC1B1A1ACBCADBOEEFDCBA例4已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC11的大小。三、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2BDCDCBCA2ADAB（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。-4-ABCA1B1C1MyzABCDEFxyzMN空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）例1、在直三棱柱111CBAABC中，090ACB,030BAC,MAABC,6,11是1CC得中点。求证：AMBA1证明：如图，建立空间坐标系)26,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1MABA)6,1,3(),26,0,3(1BAAM01BAAM练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），AP=(-a,0,z)，AC=(-a,a,0)，1DB=(a,a,a)，∵B1D⊥面PAC，∴01APDB，01ACDB∴－a2+az=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴z=a，即点P与D1重合新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM,分别在对角线AEBD,上，且AEANBDBM31,31,求证：//MN平面CDE证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c),0,2(caBMABNANM又平面CDE的一个法向量)0,3,0(bAD由0ADNM得到ADNM因为MN不在平面CDE内ABCDA1B1C1D1Pxzy-5-ABCDEPxyzFA1xD1B1ADBCC1yzEF所以NM//平面CDE练习1、在正方体1111DCBAABCD中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz)0,0,1(DA,)21,,1,1(DE因为)1,21,0(1FD所以0,011DEFDDAFDDEFDDAFD11,DDADE所以FD1平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,60ABC，,2,aPDPBaACPA点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.解答：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(aaEaaDaaB),0,0(,)0,2,23(aPaaC),2,23(aaaCP假设存在点FCPCF),2,23(aaa。aaaCFBCBF,)21(,23又)3,32,0(aaAE，)0,2,23(aaAC则必存在实数21,使得AEACBF21，把以上向量得坐标形式代入得2321213322)21(2323212211aaaaaaa即有AEACBF2321所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。-6-A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yzE1FA1xD1B1ADBCC1yzE二、利用空间向量求空间的角的问题例1在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。解：设正方体棱长为4，以1,,DDDCDA为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD)4,1,0(1BE,)4,1,0(1DF，1BE1DF＝151715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE例2在正方体1111DCBAABCD中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且11ED41D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz1DB为D1AC平面的法向量，)1,1,1(1DB)1,43,21(1FE8787,cos11FEDB所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为8787例3在正方体1111DCBAABCD中,求二面角11CBDA的大小。解：求出平面BDA1与平面BDC1的法向量)1,1,1(,)1,1,1(21nn31||||,cos212121nnnnnn例4已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC11的大小。解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系-7-A1xD1B1ADBCC1yzEFzyxC1B1A1ACBCADBOED-xyz（1）)1,0,1(1DA)0,21,21(EF21||||,cos111EFDAEFDAEFDAA1D与EF所成角是060（2）)1,21,1(1FA,)0,1,0(AB31||||,cos111ABFAABFAABFA（3）)1,1,1(1AC,)0,1,1(AC，36||||,cos111ACACACACACAC二面角BBDC11的正弦值为36三、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,3），B1（0,1,3），C1（0,0,3）∴BA1=（－1,1,－3），CA1=（－1,0,－3）11AB=（1,－1,0）设平面A1BC的一个法向量为),,(zyxn，则0011CAnBAn0303zxzyx103zyx即)1,0,3(n所以，点B1到平面A1BC的距离23||||11nBAnd例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2BDCDCBCA2ADAB（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；-8-EFDCBA（III）求点E到平面ACD的距离。解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD.2cos,,4BACDBACDBACD异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量，又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。解（Ⅰ）略（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.AE面BCE，BE面BCE，BEAE，在ABOABAEBRt为中,2,的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(1CEAOE).2,2,0(),0,1,1(ACAE设平面AEC的一个法向量为),,(zyxn，则.022,0,0,0xyyxnACnAE即解得,,xzxy令,1x得)1,1,1(n是平面AEC的一个法向量.xCABODyzE-9-又平面BAC的一个法向量为)0,0,1(m，.3331||||,),cos(nmnmnm∴二面角B—AC—E的大小为.33arccos（III）∵AD//z轴，AD=2，∴)2,0,0(AD，∴点D到平面ACE的距离.33232||||nnADd