概率论与随机过程第二讲

第一节集合代数和σ-代数集合代数和σ-代数定义1.1.1设Ω是任一非空集合，A是由Ω的一些子集组定义设是任非集合是由的子集成的非空集合类，若A满足：1.Ω∈A；3.若A，B∈A，有A∪B∈A（有限并运算封闭）；2.若A∈A，有A∈A（余运算封闭）；则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。定设是由的些子集组成的非空集合类则定理1.1.1设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则：1.若A是由Ω的集代数⇔A是包含Ω且对余运算和有限交运算封闭；2.若A是由Ω的集代数⇔A是包含Ω且对差运算封闭。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院1若是由的集代数是含对算封闭第一节集合代数和σ-代数定义1.1.2设Ω是任一非空集合，A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若A满足：非空集合类，若A满足：1.Ω∈A∈kA2.若A∈A，有A∈A（余运算封闭）；3.若A，有A（可列并运算封闭）∈kA()1,2,=k∈∞∪kA则称A是Ω上的一个σ-代数。3.若A，有A（可列并运算封闭）k()1,2,k=∪1kk2011-9-26北京邮电大学电子工程学院2第一节集合代数和σ-代数单调类单调类定义1.1.4设A由Ω的一些子集组成的非空集合类，且满足：()AA∈↑⊂⊂=∈∞=∪12121,nnnnAAAA,,nA，则以后表为，　1.若()∞()AA∈↓⊃⊃=∈=∩12121,nnnnAAAA,,nA，则以后表为，　2.若称A是Ω上的一个单调类。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院3定理1.1.5σ-代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是σ-代数。定理1.1.6若A是集代数，则：σ(A)=μ(A)定理1.1.6若A是集代数，则：σ(A)μ(A)2011-9-26北京邮电大学电子工程学院4第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数有时验证某集合类是否为包含某集代数的单调类也比有时验证某集合类是否为包含某集代数的单调类也比较困难，因此再引入λ-系、π-系的概念，借助于λ-系、π-系来判断某集代数是否为单调类从而进步判断这个系来判断某一集代数是否为单调类，从而进一步判断这个集合类是否为σ-代数，以保证该σ-代数中的每一个集合都是随机事件，那么该σ-代数即为概率函数的定义域。定义1.1.6设A由Ω的一些子集组成的非空集合类，若：定义1.1.6设A由Ω的些子集组成的非空集合类，若：任意的A,B∈A,有A∩B∈A,则称A为π-系。（π-系是一个比集代数还要弱的概念）2011-9-26北京邮电大学电子工程学院5第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数定义117设A是由Ω的些子集组成的非空集合类若定义1.1.7设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若A满足：1.Ω∈A；2.若A，B∈A，A⊂B，有B\A∈A；(对余运算封闭）AA∈↑=∈∞∪21AAnA有且若3则称A为λ-系。AA∈↑=∈=∪1,2,1nnnnAAnA，有且，若3.则称A为λ系。由以上定义可知：σ-代数一定是λ-系。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院6第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数定理1.1.7若A是λ-系，则它是单调类；若A既是λ-系，又证明第部分根据单调类的定义只需证明定理若A是系，则它是单调类；若A既是系，又是π-系，则它是σ-代数。证明：第一部分：根据单调类的定义，只需证明：AA↓∞∩21AAA，有且，若AA必有：，系，则当为21λAA∈↓=∈=∩1,2,1nnnnAAnA，有且，若AAA∈=∈nnAnA必有：，系，则当为∵,2,1λA↑∞∞∪∩AAA，且：∞∩A系，有是再由λA∈=↑==∪∩11nnnnnAAA，且：2011-9-26北京邮电大学电子工程学院7AA∈=∩1nnA系，有是再由λ第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数第二部分：欲证λ-系+π-系⇒σ-代数第二部分：欲证λ系+π系⇒σ代数根据定理1.1.5：集代数+单调类⇒σ-代数所以只须证明A是集代数即可。由集代数的定义只须说明由集代数的定义，只须说明：1.Ω∈A2.若A∈A，则Ω\A∈A3.A对有限交封闭2011-9-26北京邮电大学电子工程学院8第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数定理118设A是由Ω的些子集组成的非空集合类则定理1.1.8设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的λ-系A0，满足：1.A⊂A0；2.对包含A的任一λ-系B，有A0⊂B称A0为包含A的最小λ-系，记为λ(A)称A0为包含A的最小λ系，记为λ(A)2011-9-26北京邮电大学电子工程学院9定理1.1.9若A是π-系，则：λ(A)=σ(A)证明：由于σ-代数一定是λ-系，则λ(A)⊂σ(A)定理1.1.9若A是π系，则：λ(A)σ(A)()()根据定理1.1.7λ-系+π-系⇒σ-代数只需说明λ(A)为系即对有限交运算封闭只需说明λ(A)为π-系，即对有限交运算封闭。与定理1.1.6类似，对任意的A∈λ(A)，构造辅助集合类λA={B：B∈λ(A)，A∩B∈λ(A)}下面只需证明对每一个A∈λ(A)，说明λA=λ(A)下面只需证明对每个Aλ(A)，说明λAλ(A)1.λA为λ-系2AA时λ是包含A的λ系2.A∈A时，λA是包含A的λ-系3.A∈λ(A)时，λA是包含A的λ-系2011-9-26北京邮电大学电子工程学院101.欲证λA为λ-系„Ω∈λA（显然，Ω∈λ(A)，∵A∈λ(A)，A∩Ω=A∈λ(A)）即证若BC∈λ且BC有C\B∈λA„即证若B，C∈λA且B⊂C，有C\B∈λA由B，C∈λA，有B，C∈λ(A)，且：A∩B，A∩C∈λ(A)；然而，A∩B⊂A∩C，必有(A∩C)\(A∩B)∈λ(A)但：(A∩C)\(A∩B)=A∩(C\B)∈λ(A)则：C\B∈λAAAnnBλ∈∞=∪1„即证若Bn∈λA，n=1,2,…，且Bn↑，有：由Bn∈λA，则A∩Bn∈λ(A)，且(A∩Bn)↑()()BBABAλλ∴∞∞∞∪∪∪∩∩A2011-9-26北京邮电大学电子工程学院11()()AnnnnnnBBABAλλ∈∴∈====∪∪∪∩∩111，A2.欲证当A∈A时，λA是包含A的λ-系要证A⊂λA，只要证明对任意的B∈A⇒要证A⊂λA，只要证明对任意的B∈A⇒B∈λA证明：由B∈A⊂λ(A)，A∈A，而A是π-系，有：有：A∩B∈A⊂λ(A)，则B∈λA，则A⊂λA2011-9-26北京邮电大学电子工程学院123.欲证A∈λ(A)时，λA是包含A的λ-系相当于证明：A⊂λA，只要证明对任意的B∈A相当于证明：A⊂λA，只要证明对任意的B∈A⇒B∈λA由2知，A⊂λB,λ(A)⊂λB，从而A∈λB，于是A∩B∈λ(A)，于是A∩B∈λ(A)，故B∈λA，则A⊂λA于是对任意A∈λ(A)，有λA=λ(A)2011-9-26北京邮电大学电子工程学院13第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数定理1.1.10设A，B是由Ω的一些子集组成的非空集合类，且B⊂A1若A为λ-系B是π-系则：σ(B)⊂A1.若A为λ系,B是π系，则：σ(B)⊂A2.若A为单调类,B是集代数，则：σ(B)⊂A证明1：由于B⊂A，A是包含B的λ-系则A也包含B所生成的最小λ-系λ(B)，即λ(B)⊂A而B是π-系，由定理1.1.9：λ(B)=σ(B)则σ(B)⊂A则：σ(B)⊂A证明2：略，见P6。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院14第一节集合代数和σ-代数第节集合代数和σ代数乘积空间和乘积代数五、乘积空间和乘积σ-代数自学，略2011-9-26北京邮电大学电子工程学院15第二节测度与概率第节测度与概率一测度及其性质、测度及其性质首先引入集函数、广义测度和测度的概念。定义1.2.1设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若对每一个A∈A，有一实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面个A∈A，有实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为ϕ(A)，且至少有一A∈A，使其取有限值，则称ϕ(A)是定义在A上的集函数则称ϕ(A)是定义在A上的集函数。（集函数和普通的函数差别为定义域为集合类）。集函数ϕ(A)的值域为(-∞,+∞]2011-9-26北京邮电大学电子工程学院16第二节测度与概率第二节测度与概率()12AAnAinnNAAijA+∈∈Φ≠∈∪若且„()11,2,,,,AAiijiiAinnNAAijA=∈=∈=Φ≠∈∪若，且„时，有()∑=⎟⎟⎞⎜⎜⎛nnAAϕϕ∪()∑===⎟⎟⎠⎜⎜⎝iiiiAA11ϕϕ∪则称ϕ在A上具有有限可加性，也称ϕ为A上的有限可加集函数。加集函数2011-9-26北京邮电大学电子工程学院17第二节测度与概率第二节测度与概率()AA∈≠Φ==∈∞∪21AjiAAiA且若()AA∈≠Φ==∈=∪1,,,2,1iijiiAjiAAiA且，若„时，有()∑∞∞=⎟⎟⎞⎜⎜⎛iiAAϕϕ∪()∑==⎟⎟⎠⎜⎜⎝11iiiiϕϕ∪则称ϕ在A上具有σ-可加性或完全可加性，也称ϕ为A上的σ-可加集函数或广义测度。上的σ可加集函数或广义测度。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院18第二节测度与概率第二节测度与概率„若对每一A∈A，ϕ(A)都取有限值，则称ϕ为A上的有限集函数；若对每一A∈A，存在一集合序上的有限集函数；若对每A∈A，存在集合序列{An}⊂A，使：()∪1,2,n,A，AAnn=+∞⊂∞ϕ1n=则称ϕ为A上的σ-有限集函数。则称ϕ为的有限集函数2011-9-26北京邮电大学电子工程学院19第二节测度与概率„若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测第二节测度与概率若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测度；若集数为加非负值则称为测度用或„若集函数为σ-可加且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示；„具有性质Ω∈A且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或概率用P表示率，用P表示。一般情况下取A为集代数或σ-代数，下面讨论集函数与般情况下取A为集代数或σ代数，下面讨论集函数与测度的性质。2011-9-26北京邮电大学电子工程学院20第二节测度与概率第二节测度与概率定理1.2.1设ϕ为A上的集函数ϕ1.若ϕ是有限可加或σ-可加的，且∅∈A，则ϕ(∅)=0；2若ϕ是σ可加的且∅∈A则ϕ是有限可加的2.若ϕ是σ-可加的，且∅∈A，则ϕ是有限可加的；(当A为集代数时，ϕ是σ-可加，则ϕ是有限可加的)3.若A为集代数，ϕ有限可加或σ-可加，A,B∈A，且A⊂B则：A⊂B，则：()()()A\BABϕϕϕ+=()()()()（可减性）\则若()()()()（可减性）\，则若ABABAϕϕϕϕ−=+∞()()ABϕϕϕ≤若是测度(或非负的)，则（不降性）2011-9-26北京邮电大学电子工程学院21()()第二节测度与概率第节测度与概率4（半可加性）为集代数是有限可加测度4.（半可加性）A为集代数，ϕ是有限可加测度，Ai∈Ani12nAAA∈⊂∪A则n,ii1i1,2,n,A,AA==∈⊂∪A则：()()∑=≤n1iiAAϕϕ2011-9-26北京邮电大学电子工程学院22第二节测度与概率5（次可加性）A为集代数ϕ是σ-可加测度A∈A第节测度与概率5.（次可加性）A为集代数，ϕ是σ-可加测度，Ai∈A：则∪∞⊂∈=AAAA12i∞：，则∪=⊂∈=1iiAAA,A,1,2,i()()∑=≤1iiAAϕϕ推论若ν是集代数A上的测度，则上述定理的结论成立2011-9-26北京邮电大学电子工程学院23成立。一、测度及其性质、测度及其性质定义1.2.1设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若对每一个A∈A，有一实数或者±∞与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为ϕ(A)，且至少有一A∈A，使其取有限值，则称ϕ(A)是定义在A上有A∈A，使其取有限值，则称ϕ(A)是定义在A上的集函数。„有限可加集函数„σ-可加集函数或广义测度„σ可加集函数或广义测度2011-9-26北京邮电大学电子工程学院24一、测度及其性质、测度及其性质„若对每一A∈A，ϕ(A)都取有限值，则称ϕ为A