二次函数知识点及经典例题详解最终

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0，0y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a0向下0，0y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2.yax2c的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0，cy轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a0向下0，cy轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh2的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，0X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．a0向下h，0X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．4.yaxh2k的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．a0向下h，kX=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较从解析式上看，yaxh2k与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即ya()，其中h=-，k五、二次函数yax2bxc的性质当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x-,顶点坐标为().当x-时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x=时，y有最小值.当时，抛物线开口向下，对称轴为x-,顶点坐标为().当x-时，y随x的大而增大y;当随x时,y随x的增大而减小;当x=时,y有最大值.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根．②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{解得{∴解析式为y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,∴解析式为y=2x2-4x-6.解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴()()=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).2.二次函数的图象例2y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上a0.抛物线与y轴负半轴相交c0bbc0.对称轴x2a在y轴右侧b0∴点M(a,bc)在第一象限.答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().分析:一次函数y=ax+c,当a0时,图象过一、三象限;当a0时,图象过二、四象限;c0时,直线交y轴于正半轴;当c0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a的正负左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号与a的符号相同;)来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c的正负解:可用排除法,设当a0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.23.二次函数的性质例4对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①,②;再说出它们的两个不同点:①,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例5已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k,(1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x2=-2k2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△0即可.(2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.∵8k2+10,即△0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1),x1·x2=-k2+k.∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,∴n1=n2.22又n1=m12+m1,n2=m2+m2.∴m12+m1=m2+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.∵P、Q是抛物上不同的点,∴m1≠m2,即m1-m2≠0.∴m1+m2+1=0即m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数yx24x7的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数ykx2k和yk(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x11.3和x2（）Ａ．-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3