高考专题复习思想方法：数形结合(精华版)

xylmO-0.5-1xy14O31-m数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合0103,22xxxBaxaxA，当BA，求实数a的取值范围.参考解答：画数轴分析可得45a.例2、（函数中的数形结合）设222fxxax，当1,x时，fxa恒成立，求a的取值范围。参考解答：解法一：由fxa，在1,上恒成立2220xaxa在1,上恒成立.考查函数222gxxaxa的图像在1,时位于x轴上方，如下图不等式的成立条件是：1）244202,1aaa；2）013,210aag；综上所述3,1a解法二：由2221fxaxax，令2122,21yxyax，在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于,lm之间，而直线,lm对应的a的值分别为3,1，故直线l对应的3,1a.例3、（方程中的数形结合）若方程2lg3lg3xxmx在0,3x内有唯一解，求实数m的取值范围.参考解答：原方程变形为23033xxxmx，即3021xxm，作出曲线212yx，0,3x和直线21ym的图象，由图可知：①当10m时，有唯一解1m；yxO-1ayxO-1ayxABO-111②当114m时，即30m时，方程有唯一解.综上可知，1m或30m时，方程有唯一解.例4、（不等式中数形结合）不等式0222aaaxx在2,0x时恒成立，求a的取值范围.参考解答：,10,例5、（解析几何中的数形结合）已知,xy满足2211625xy，求3yx的最大值与最小值.参考解答：对于二元函数3yx在限定条件2211625xy下求最值问题，常采用构造直线截距的方法来求之.令3yxb，则3yxb，原问题转化为：在椭圆2211625xy上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3yxb与椭圆2211625xy相切时，有最大截距与最小截距.由可得0，得13b，故3yx的最大值为13，最小值为13.例6、设0b，二次函数221yaxbxa的图像为下列之一，则a的值为（B）①②③④A1B1C152D152例7、线段AB的两个端点为1,1,1,3AB，直线:21lyax，已知直线l与线段AB有公共点，求a的取值范围.参考解答：不论a取何值，直线l恒过定点0,1P，斜率为2a，由图l与线段AB有公共点，需要l由直线PA的位置（绕P点）逆时针转动到PB的位置.在这一转动过程中，l的倾斜角先逐渐增大到2（从而l的斜率逐渐增大到），l绕过y轴后，倾斜角依然逐渐增大，因此其正切值（l的斜率）逐渐增大到PB的斜率，又2,4PAPBkk，故2,42,a，即,21,a.yx1-1OyxOyxOyx-11OyxO-a/2-3例8、已知1,1A为椭圆22195xy内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PFPA的最大值和最小值.参考解答：由椭圆的定义知121266PFPFPFPF，122266,6PFPAPFPAAFAF即1min62PFPA，1max62PFPA【配套练习】1、方程1sin44xx的解的个数为（C）A1B2C3D42、如果实数,xy满足2223xy，则yx的最大值为（D）A12B33C32D3参考解答：等式2223xy有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为2,0，半径3r，如图，00yyxx表示圆上的点,xy与坐标原点0,0的连线的斜率.如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以2,0为圆心，以3r为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，当A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算得最大值为tan603.3、已知函数2log1fxx，若0abc，则,,fafbfcabc的大小关系为fcfbfacba.4、设函数2020xbxcxfxx，若40ff，22f，则关于x的方程fxx的解的个数为（C）A1B2C3D35、函数2222613yxxxx的最小值为（D）A25B221C2D136、已知函数aaxxy22在区间3,内递减，则实数a的取值范围为6a.参考解答：如图所示，可知对称轴362axa7、设、分别是方程2log40240xxxx和的根，则＝4.yx11CBAOyxF1F2OAPyxO2-1xyO-228、如果关于x的方程0232aaxx有两个实数根21,xx，并且2,0,1,21xx，求实数a的取值范围.参考解答：令232fxxaxa，由题1043030032022070fafaaf.9、求函数2cos2sinxxy的值域.参考解答：2cos2sinxxy的形式类似于斜率公式2121yykxx，表示过两点02,2P，cos,sinPxx的直线的斜率，由于点P在单位圆122yx上，显然BPAPkyk00，设过0P的圆的切线方程为)2(2xky，则有11|22|2kk，解得374±k，即0473PAk，0473PBk，所以374374y，所以函数值域为374374，.10、已知集合22,1,,,,1,,PxyxyxRyRQxyxayxRyR，求满足下列条件时实数a的取值范围.⑴QP；⑵PQ；参考解答：画区域分析问题，⑴2,2a，⑵0a【高考真题】1、若集合)0(sin3cos3)(yxyxM，，集合}|){(bxyyxN，，且≠NM，则实数b的取值范围为3,32.参考解答：集合}109|){(22yyxyxM，，，显然，M表示以0,0为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率1k，纵截距为b，由图形易知，欲使MN，即直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为32即233b.2、已知2fxxaxb（其中ab），且,是方程0fx的两根（），则实数,a，且b,.3、点M是椭圆1162522yx上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示yxy=axN1O2k-12k+1Myxy=x+1y=x1Oyxy=x-1y=xO原点，则ON（C）A32B2C4D8参考解答：设椭圆另一焦点为2F，（如下图），则122MFMFa，而5a，因为12MF，所以28MF，又注意到,NO各为112,MFFF的中点，所以ON是12MFF的中位线，因此4||21||2MFON.4、关于x的方程axkx22在*21,21xkkkN上有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围.参考解答：设2122yxkyax，可作图得10,21k.（数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则）5、已知函数lg1fxx，若ab且fafb，则ab的取值范围是0,.6、已知,,,,AxyymxBxyyxmCAB，若C中仅含有两个元素时，则实数m的取值范围11mm或.参考解答：0m0m已知当0m时ymx与yxm在y轴左侧必有一个交点，故要在y轴右侧有一个交点只需1m，同理当0m时ymx与yxm在y轴右侧必有一个交点，故要在y轴左侧有一个交点只需1m.7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程a、b、c、d的对应关系中，有可能正确的一组是——————(D):afxyfxfy:bfxyfxfy:cfxyfxfy:dfxyfxfyyxOyxOyxOyxO0y12x1234A,2,3,4cabd1B,2,3,4abcd1C,2,3,4bdac1D,2,3,4bcda18、已知函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则（A）A,0b0,1Bb1,2Cb2,Db参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x轴的相对位置特征，可得到以下等式：⑴00f，即0d；⑵10f，即0abc；⑶20f，即8420abc；⑷12fxaxxx；⑸当,01,2x时，0fx，由10f得0abc，⑹当0,12,x时，0fx，30f，可推得0a.巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：方法一：⑵⑶得3ba，再由⑹推得0b，选A；方法二：⑵⑸推得0b；方法三：由⑷比较同次项系数得3ba，再由⑹得3ba.数学思想方法：数形结合数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合0103,22xxxBaxaxA，当BA，求实数a的取值范围.例2、（函数中的数形结合）设222fxxax，当1,x时，fxa恒成立，求a的取值范围.例3、（方程中的数形结合）若方程2lg3lg3xxmx在0,3x内有唯一解，求实数m的取值范围.例4、（不等式中数形结合）不等式0222aaaxx在2,0x时恒成立，求a的取值范围.例5、（解析几何中的数形结合）已知,xy满足2211625xy，求3yx的最大值与最小值.例6、设0b，二次函数221yaxbxa的图像为下列之一，则a的值为（）①②③④A1B1C152D152例7、线段AB的两个端点为1,1,1,3AB，直