相似三角形判定综合复习

方伟良三角形相似的判定方法有哪些？方法1：通过定义方法5：两组角分别对应相等，两个三角形相似三个角对应相等三边对应成比例方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所得三角形与原三角形相似方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似方法4：两组对应边比相等且夹角相等，两个三角形相似定理3：两角对应相等，两三角形相似。定理1：三组对应边的比相等，两三角形相似。∠A=∠A'∠B=∠B'△ABC∽△A'B'C'A'C'CAC'B'BCB'A'AB△ABC∽△A'B'C'定理2：两组对应边的比相等且夹角相等，两三角形相似。△ABC∽△A'B'C'''''ABABBCBC∠B=∠B'A'C'B'ABC相似三角形的判定定理：直角三角形相似的判定:B'C'ABCA'直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。''ABABA'C'AC=∠C=∠C'=90oRt△ABC∽Rt△A'B'C'ABCDEABC21OCBADOCDABABCDE定理应用如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？6DCBA∟ACABADAC32ADACABACABCDAC232CDACAB23要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有故当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。DCBA∟如图:∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD=时，△ABC与△CDB相似.ADBC如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似DABCab解:⑴∵∠1＝∠D＝90°∴当时，即当时，△ABC∽△CDB,∴⑵∵∠1＝∠D＝90°∴当时,即当时，△ABC∽△BDC，∴答：略.BDBCBCACBDbbaBDABBCACBDbaba22abBD2ababBD22１基本图形应用（1）已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ACP∽△ABC?解:⑴∵∠A=∠A，∴当∠1=∠ACB（或∠2=∠B）时，△ACP∽△ABC⑵∵∠A=∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，△ACP∽△ABC答：当∠1=∠ACB或∠2=∠B或AC:AP＝AB:AC时,△ACP∽△ABC.ABPC124ABCDEE思维要严密ABCD在△ABC中，AB=9，AC=6，D是边AB上一点且AD=2，E是AC上的点，则AE=时，△ADE与△ABC相似？34或3△ADE∽△ABC?ABCDABCD练习EE已知，△ABC中，D为AB上一点，画一条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条?在△ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE（不与AB重合），交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条?画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE在直角坐标系中，点A（－2，0），B（0，4），C（0，3）。过点Ｃ作直线交x轴于点Ｄ，使以Ｄ、Ｏ、Ｃ为顶点的三角形与ΔAOB相似，这样的直线最多可以作（）条A.2B.3C.4D.6ABCDDODD动点与相似三角形在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC,OA=7,BC=3,∠COA=60°,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP.（1）求点B的坐标。（2）点D为AB上一点，且AD:BD=3:5,连结PD,在OA上是否存在这样的点P,使∠CPD=∠BAO?若存在，求出直线PB的解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCPD2)提示，AD:BD=3：5，AB=OC=4∴AD=3/2又△OPC∽ADP设OP=X,由X:AD=OC:AP列出方程，解得X=1或6)32,5(B312322323xyxy或如图：在⊿ABC中，∠C=90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：①经过多少秒时⊿CPQ∽⊿CBA;AQPCBAQPCB②经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？提示①只有一种情况，t=12/5②除上面一种外还有一种情况，t=32/11(0﹤t﹤4)基本图形应用（2）将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.解：有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）EDBCGAF已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°求证：（1）PAQ∽△BPR2AQRB=QR（2）RQB如图点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDBDCBF^※如图，已知EMAM，交AC于D，CE=DE求证：2ED·DM=AD·CD。结论成立。ΔFCD,ΔAMD由条件得,可得ΔCDF是RtΔEF,DE又知CEDE,F可延长DE到F，使E要得出2ED，,DMCDAD2ED（还应考虑系数2），例式应把积的形式转化成比CD成立，ADDM要证2ED证法一：∽CMEDA∟故结论成立。ΔDAM，ΔDEG由题易证得,DMADDGED即DMADCD2ED只需证明2DG,得CD，根据等腰三角形的性质CD，证法二：过点E作EG^∽如图，已知EMAM，交AC于D，CE=DE求证：2ED·DM=AD·CD。^GACEDM∟综合运用※已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于点F，AF＝FD。求证：DE²＝BE·CEABCDFE解：连接AE，∵EF垂直平分AD∴AE=DE。∴∠ADE=∠DAE。∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE。AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD。∴∠B=∠CAE。又∠AEB=∠AEC(公共角）。∴△ABE∽△CAE，∴AE/CE=BE/AE，∴AE²=BE×CE。∵AE=DE，∴DE²=BE×CE。※如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．FPDCBA则BM=3163或提示由条件：∠ABP=∠CBM，(1)M1B：BP=BC：AB，即M1B：3=4:4,∴M1B=3（此时全等）(2)M2B:AB=BC:BP,即M2B：4=4：3，M2B=16/3.∴MB有二解：3或16/3.※正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.NMDCBA提示(2)已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN,如果要想使RT△ABM∽RT△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM/MN=AB/BM，根据（1）的相似三角形可得出AM/MN=AB/MC,因此BM=MC，M是BC的中点，即X=2※已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、CE交于E，连接DE。求证：△DBE∽△ABC分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用.所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决。证明：在△CBE和△ABD中，∵∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.∴AB:BC=BD:BE∴AB:BD=BC:BE.又∵∠CBE=∠ABD，∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC.即∠DBE=∠ABC∴△DBE∽△ABC点评：本题应用综合分析法，既用到了相似三角形的性质，又用到了相似三角形的判定，要求同学们对四种判定方法和基本图形要熟练掌握。※已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F,求证：AB:AC=DF:AF分析：欲证AB:AC=DF:AF，虽然这四条线段可分配于△ABC和△DFA中，但这两个三角形明显不相似，且图中又没有相等的线段来代换，故需借助中间比牵线搭桥。易证RT△BAC∽RT△BDA，得到AB:AC=BD:AD,于是只需证DF:AF=BD:AD进而证出△DFB∽△AFD即可证明：在RT△ABC和RT△DBA中，∠BAD=∠C,∠ABC=∠DBA,∴RT△ABC∽RT△DBA∴AB:AC=BD:AD又在RT△ADC中，E是AC的中点，∴DE=CE∴∠C=∠EDC=∠FDB∵∠C=∠BAD∴∠BAD=∠FDB∵∠F=∠F∴△DFB∽△AFD∴DF:AF=BD:AD∴AB:AC=DF:AF再见知识回顾KnowledgeReview