高中数学几何体外接球求法

RPdrOO'高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆（1）长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；（2）正三角形的内切圆半径：36a外接圆半径：33a（3）正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球3．球的截面：用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且OOd，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22rRd为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球正方体的内切球5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。二、相关公式：球的表面积公式：24SR；球的体积公式：343VR（1）长方体（或各个顶点都落在长方体顶点上的几何体）的外接球半径公式：2222cbaR，,,abc分别为长方体共顶点的3条棱长例：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为()(A)(B)(C)3(D)12（2）正棱锥（底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体）的外接球半径公式：2,2aRh，a为侧棱长，h为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的高为3，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝PC＝PD且AB＝，则四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为（）A．B．2C．D．3（3）正四面体外接球半径公式：a46R，内切球半径：a126R，a为棱长例：一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．3B．4C．33D．6（4）侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式：22)2(Rhr，h为几何体的高，r为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A．41πB．C．D．57π（5）求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥面ABCD，PA＝PD＝AD＝3，AB＝4，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为．三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形ABCD中，3,4BCAB，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.12125B.9125C.6125D.31252、对角线构造例、在三棱锥BCDA中，2CDAB，5BCAD，7BDAC，则三棱锥BCDA外接球的表面积是__________．练习1、三棱锥A﹣BCD中，，AC＝BD＝2，，则该几何体外接球的表面积为．2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2，4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积为______．3、在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为．4、若三棱锥ABCS的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，32SA，1AB，2AC，60BAC，则球O的表面积为__________．5、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）A.26B.36C.23D.226、三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，∠C＝120°，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为．7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π8、如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．441πD．31π9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．29πC．28πD．25π10、如图，正三棱锥ABCD的侧棱长为2，底面BCD的边长为22，E、F分别为BC、BD的中点，则三棱锥ABEF的外接球半径R__________，内切球半径r__________．