带电粒子在电场中的运动经典例题

带电粒子在电场中的运动一、带电粒子在电场中做偏转运动1.如图所示，在平行板电容器之间有匀强电场，一带电粒子（重力不计）以速度v0垂直电场线射人电场，经过时间tl穿越电场，粒子的动能由Ek增加到2Ek;若这个带电粒子以速度32v0垂直进人该电场，经过时间t2穿越电场。求：(l）带电粒子两次穿越电场的时间之比t1：t2;(2）带电粒子第二次穿出电场时的动能。2.如图所示的真空管中，质量为m，电量为e的电子从灯丝Ｆ发出，经过电压Ｕ１加速后沿中心线射入相距为d的两平行金属板Ｂ、Ｃ间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上，设Ｂ、Ｃ间电压为Ｕ２，Ｂ、Ｃ板长为l1,平行金属板右端到荧光屏的距离为l２,求：⑴电子离开匀强电场时的速度与进入时速度间的夹角．⑵电子打到荧光屏上的位置偏离屏中心距离．解析:电子在真空管中的运动过分为三段，从Ｆ发出在电压Ｕ１作用下的加速运动；进入平行金属板Ｂ、Ｃ间的匀强电场中做类平抛运动；飞离匀强电场到荧光屏间的匀速直线运动．⑴设电子经电压Ｕ１加速后的速度为v1，根据动能定理有：21121mveU电子进入Ｂ、Ｃ间的匀强电场中，在水平方向以v1的速度做匀速直线运动，竖直方向受电场力的作用做初速度为零的加速运动，其加速度为：dmeUmeEa2电子通过匀强电场的时间11vlt电子离开匀强电场时竖直方向的速度vy为：112mdvleUatvy电子离开电场时速度v2与进入电场时的速度v1夹角为α（如图５）则dUlUmdvleUvvtgy112211212v0图５∴dUlUarctg1122⑵电子通过匀强电场时偏离中心线的位移dUlUvldmeUaty1212212122142121电子离开电场后，做匀速直线运动射到荧光屏上，竖直方向的位移dUllUtgly1212222∴电子打到荧光屏上时，偏离中心线的距离为)2(22111221lldUlUyyy3.在真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．若将一个质量为m、带正电电量q的小球在此电场中由静止释放，小球将沿与竖直方向夹角为37的直线运动。现将该小球从电场中某点以初速度0v竖直向上抛出，求运动过程中（取8.037cos,6.037sin）（1）小球受到的电场力的大小及方向；（2）小球运动的抛出点至最高点之间的电势差U．解析：（1）根据题设条件，电场力大小mgmgFe4337tan①电场力的方向向右（2）小球沿竖直方向做初速为0v的匀减速运动，到最高点的时间为t，则：00gtvvygvt0②沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为xagmFaex43③此过程小球沿电场方向位移为：gvtasxx8321202④小球上升到最高点的过程中，电场力做功为：20329mvSFqUWxeqmvU32920⑤4.在足够大的空间中,存在水平向右的匀强电场,若用绝缘细线将质量为m的带正电的小球悬挂在电场中,其静止时细线与竖直方向夹角θ=37°.现去掉细线,将该小球从电场中的某点竖直向上抛出,抛出时的初速度大小为v0,如图13所示.求:(1)电场强度的大小.(2)小球在电场内运动过程中的最小速率.(3)小球从抛出至达到最小速率的过程中,电场力对小球所做的功.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)5.如图所示，在空间中取直角坐标系Oxy，在第一象限内平行于y轴的虚线MN与y轴距离为d，从y轴到MN之间的区域充满一个沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。初速度可以忽略的电子经过另一个电势差为U的电场加速后，从y轴上的A点以平行于x轴的方向射入第一象限区域，A点坐标为（0，h）。已知电子的电量为e，质量为m，加速电场的电势差U＞Ed24h，电子的重力忽略不计，求：（1）电子从A点进入电场到离开该电场区域所经历的时间t和离开电场区域时的速度v；（2）电子经过x轴时离坐标原点O的距离l。解析：（1）由eU＝12mv02得电子进入偏转电场区域的初速度v0＝2eUm设电子从MN离开，则电子从A点进入到离开匀强电场区域的时间t＝dv0＝dm2eU；y＝12at2＝Ed24U因为加速电场的电势差U＞Ed24h，说明y＜h，说明以上假设正确所以vy＝at＝eEmdm2eU＝eEdmm2eU离开时的速度v＝v02＋vy2＝2eUm＋eE2d22mU（2）设电子离开电场后经过时间t’到达x轴，在x轴方向上的位移为x’，则x’＝v0t’，y’＝h－y＝h－vy2t＝vyt’则l＝d＋x’＝d＋v0t’＝d＋v0（hvy－t2）＝d＋v0vyh－d2＝d2＋v0vyh代入解得l＝d2＋2hUEd二、带电粒子在电场中做圆周运动6．在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m、电量为+q的带电小球，另一端固定于O点。将小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放，则小球沿圆弧作往复运动。已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为（如图）。求：（1）匀强电场的场强。（2）小球经过最低点时细线对小球的拉力。解：（1）设细线长为l，场强为E，因电量为正，故场强的方向为水平向右。从释放点到左侧最高点，由动能定理有0KEGEWW，故)sin1(cosqElmgl，解得)sin1(cosqmgE（2）若小球运动到最低点的速度为v，此时线的拉力为T，由动能定理同样可得221mvqElmgl，由牛顿第二定律得lvmmgT2，联立解得]sin1cos23[mgT7.如图所示，水平轨道与直径为d=0.8m的半圆轨道相接，半圆轨道的两端点A、B连线是一条竖直线，整个装置处于方向水平向右，大小为103V/m的匀强电场中，一小球质量m=0.5kg,带有q=5×10-3C电量的正电荷，在电场力作用下由静止开始运动，不计一切摩擦，g=10m/s2，（1）若它运动的起点离A为L，它恰能到达轨道最高点B，求小球在B点的速度和L的值．（2）若它运动起点离A为L=2.6m，且它运动到B点时电场消失，它继续运动直到落地，求落地点与B点的距离．（1）因小球恰能到B点，则在B点有22dmvmgB（1分）m/s22gdvB（1分）小球运动到B的过程，由动能定理mOθ＋q221BmvmgdqEL（1分）m145212qEmgdqEmgdmvLB（1分）（2）小球离开B点，电场消失，小球做平抛运动，设落地点距B点距离为s，由动能定理小球从静止运动到B有221BvmmgdLqEm/s2422mmgdLqEvB（2分）221gtds4.02gdtm258tvxBm4.222xds（2分）7.如图所示，在E=103V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R=40cm，一带正电荷q=10－4C的小滑块质量为m=40g，与水平轨道间的动摩因数=0.2，取g=10m/s2，求：（1）要小滑块能运动到圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？（2）这样释放的滑块通过P点时对轨道压力是多大？（P为半圆轨道中点）解析：（1）滑块刚能通过轨道最高点条件是,/2,2smRgvRvmmg滑块由释放点到最高点过程由动能定理：mgEqgRvmSmvRmgmgSEq221212S22＝－－代入数据得：S＝20m（2）滑块过P点时，由动能定理：RmEqgvvmvmvEqRmgRPP）（－－－221212222在P点由牛顿第二定律：EqmgNRmvEqNP32代入数据得：N＝1.5N8.如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点o，用一根长度为l=0.40m的绝缘细线把质量为m=0.20kg，带有正电荷的金属小球悬挂在o点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为=037.现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，求：(1)小球运动通过最低点C时的速度大小.(2)小球通过最低点C时细线对小球的拉力大小.（3）如果要使小球能绕o点做圆周运动，则在A点时沿垂直于OA方向上施加给小球的初速度的大小范围。(g取10m/s2，sin037=O.60，cos037=0.80)解：9.如图所示，在匀强电场中一带正电的小球以某一初速度从绝缘斜面上滑下，并沿与斜面相切的绝缘圆轨道通过最高点．已知斜面倾角为300,圆轨道半径为Ｒ，匀强电场水平向右，场强为Ｅ，小球质量为m，带电量为Emg33，不计运动中的摩擦阻力，则小球至少应以多大的初速度滑下？在此情况下，小球通过轨道最高点的压力多大？解析：小球的受力如图９所示，从图中可知：3333EmgmgEmgqEtg，030．所以带电小球所受重力和电场力的合力始终垂直于斜面，小球在斜面上做匀速直线运动，其中mgmgF332cos把小球看作处于垂直斜面向下的等效力场F中，等效力加速度gmFg332,，小球在Ｂ点的速度最小，为RgRgvB332,，由功能关系可得：,2222121RmgmvmvBARggRRgRgvvBA331033243324,2此即为小球沿斜面下滑的最小速度．设Ｃ点的速度为vc，则)cos1(2121,22RmgmvmvBCRgRgRgRgvvBC)232()231(334332)cos1(2,2小于球通过最高点Ｃ时，向心力由重力和轨道压力提供，因而有：RmvmgNC2mgRRgmmgRmvNC)232(2mg)332(如图甲所示，A、B是一对平行放置的金属板，中心各有一个小孔P、Q，PQ连线垂直金属板，两板间距为d．现从P点处连续不断地有质量为m、带电量为＋q的带电粒子（重力不计），沿PQ方向放出，粒子的初速度可忽略不计．在t＝0时刻开始在A、B间加上如图乙所示交变电压（A板电势高于B板电势时，电压为正），其电压大小为U、周期为T．带电粒子在A、B间运动过程中，粒子间相互作用力可忽略不计．乙甲OT/2-UUutT3T/2QABP（1）如果只有在每个周期的0～4T时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，则上述物理量之间应满足怎样的关系．（2）如果各物理量满足（1）中的关系，求每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值．（1）在04T时间内，进入A、B板间的粒子，在电场力的作用下，先向右做匀加速运动，在TT2时间内再向右做匀减速运动，且在04T时间内，越迟进入A、B板间的粒子，其加速过程越短，减速运动过程也相应地缩短，当速度为零后，粒子会反向向左加速运动。由题意可知04T时间内放出的粒子进入A、B板间，均能从Q孔射出，也就是说在2T时刻进入A、B板间的粒子是能射出Q孔的临界状态。粒子在4T时刻进入A、B间电场时，先加速，后减速，由于粒子刚好离开电场，说明它离开电场的速度为零，由于加速和减速的对称性，故粒子的总位移为加速时位移的2倍，所以有mdqUTTad16)4(21222即mqUTd1622①（2）若情形（1）中的关系式①成立，则t＝0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间为最短（因只有加速过程），设最短时间为tx，则有221xatd②在4Tt时刻进入电场的粒子在43Tt的时刻射出电场，所以有粒子飞出电场的时间为xtTt43③由②③式得423Tt④三、带电粒子在交变电场中的偏转1．如图甲所示，A、B是在真空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场。A、B两板间距d=15cm。今在A、B两极上加如图乙所示的电压，交变电压的周期T=1.0×10-6s；t=0时，A板电势比B板电势高，电势差0U=108V。一个荷质比mq=1.0×108C/kg的带负电的粒子在t=0时从B板附近由静止开始运动，不计重力。问：(1)当粒子的位移为多大时，粒子速度第一次达到最大值？最大速度为多大？(2)粒子运动过程中将与某一极板相碰撞，求粒子撞击极板时的速度大小