全等三角形-经典例题

数学期末考试范围：七下：第3,4,5,6章（整式的乘除、因式分解、分式、数据与统计图表）八上：第1章（三角形的初步知识）第2章（2.1—2.3）（等腰三角形的性质为止）全等三角形如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？CAB12EDBD=CE吗?6.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC与E，BE、CD交于O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC图中有几对全等三角形?如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.21(1)图中还有几对全等三角形；(2)求证：CF＝EF.ABCP条件：AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC0112()34=90()结论：角平分线的意义；垂直的意义；2()()PBPC结论：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等3()5=6()PABPACABAC结论：≌全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等123456ABDCPO条件：CD是线段AB的中垂线1;()AOBOCDAB结论：中垂线的意义；2()PAPB结论：中垂线的性质定理；312;34()PAOPBO结论：≌；全等三角形的对应角相等1234要修建一个超市P，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明理由？ABCPP如图：点为所求位置3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条公路的距离相等.这样的点有几个？各内角与外角的角平分线4个•6、作图，你能否找出一个点，使它到线段AB两端点的距离相等，并且到∠COD两边的距离也相等．CDOAB试说明：三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等．若三角形三条边边长分别为a,b,c，三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为r，则三角形的面积为____________．rcba)(21手拉手模型常见图形5(背靠背)例3：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：(1)BE=AD；(2)AF⊥BEAFBCEDFECBDA变形_1:以点A为顶点作二个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图所示，连接BD，CE（1）求证：BD=CE（2）求∠BFC的度数如图,已知中,,BE,CF都是的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证:FEBCAD以点A为顶点作二个等边三角形（△ABC，△ADE），连接CD，连接BE.有哪些结论？FEBCAD变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角形（△ABC，△ADE），连接CD，连接BE.（1）求证：BD=CE（2）求∠BFC的度数已知如图，△ABC与△EDC都是等边三角形，且A．D．E在同一条直线上，若∠DBE＝86°则∠ADB＝AEDCB如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△DEC，连结AE。1）试说明AE∥BC的理由3）如图（2），将（1）中点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想。(1)EDCBA(2)EDCBA如图,已知在△ABC中,ABAC,BE,CF都是△ABC高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证:（1）AP=AQ;（2）AP⊥AQ.如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，请说明△ABD≌△ACE吗？为什么？如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：(1)AE=CF；(2)△EPF是等腰直角三角形；(3)；(4)当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时EF=AP(点E不与A、B重合)。上述结论中始终正确的有()ΔABCAEPFS21S四边形截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法，即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。补短法，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.EDABCEDFABC常规结论有哪些：如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.EDABCFEDABC如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.OEDABCFOEDABC在线段BC取点F，使得BF=BE，连结OF。结论1：△BOE≌△BOF，需要证：CF=CD你能有哪些结论？角平分线，构筝形线段和差，截长补短HOEDABC如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.在线段BA或延长线上取点H，使得BH=BC，连结OH。结论：△BOH≌△BOC要证：EH=CD即证：△EOH≌△DOCHOEDABC如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.在线段BA或延长线上取点H，使得CD=EH，连结OH。要证△BOH≌△BOC，已有条件BO=BO，∠HBO=∠CBO.原因：没有用到角平分线模型如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.方法总结：FOEDABCHOEDABCBE=BFBH=BC统一模型：角平分线轴对称模型如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.OEDABC想一想，你还有什么方法？提示：利用角平分线性质定理.例7、已知：如图所示，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直求证：PA=PDE在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，且CF=EB，求证：（1）BD=DF（2）AB+AF=2AE0ADBACDEABEDFA20ABD.CFBECFDAF如图：是的平分线，于，于，且．已知，求的度数ADBCFE变：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC与∠ABC互补.求证：2AE=AD+ABDEACBFDEACB如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，2AE=AD+AB.求∠ADC+∠ABC的度数.DEACBFDEACBFDEACB如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.F如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE=CF;(2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？GFDABCE(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD上，且EF=BE+FD.求证：FC平分∠EFD.FDABCE•在△ABC中，AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B:∠C已知：如图，在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-ACPB-PC。DBCAPEDBCAP倍长中线1.在△ABC中,AB=8,AC=6,则BC上的中线AD的取值范围.ABCDE1.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。..1.已知：如图，在和中，，，和是和上的中线，且求证：≌ABCABCABABACACADADBCBCADADABCABCDBCAD'A'C'B'2.已知：如图AC=BD，∠CAD=∠CDA，AE是△ACD的中线.求证：∠B=∠CAEEDBCAFEDBCA变式：如图，在△ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，求证：(1)AD平分∠BAE.(2)AB=2AEEDBCAFEDBCA3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE.求证：AB=BC+AD.BEADCFBEADC4.已知：如图，AD为△ABC的中线，∠ADB，∠ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE+CFEF．FEDBCA5.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.FGDEFBCA(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；三垂直P31EX17（1）如图甲所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足为D，CE⊥直线m，垂足为E.证明：DE=BD+CE.(2)如图乙所示，将第（1）题中的条件改为在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角.请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.P31EX16如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线．垂足分别为点E，F，G．若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为．P30EX12如图，在△ABC中，∠C=90°，P、E分别是边AB、BC上的点，D为△ABC外一点，DE⊥BC，DE=EC，BE=2EC，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AC=4，则线段BC的长为。如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为______．练习3：如图.∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。BEACD如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过点B作BF⊥BC，并使BF=BD，连接CF交AB于E．(1)∠BDE=∠ADC；(2)连接AF，试判断AF与CF的大小关系，并说明理由．如图，∠ABC=90°，AB=AC，D是AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF=CF－AE3．已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q．求∠BQM等于多少度．ABQCMNMABQCNABCMNQ