高三导数相关知识点经典复习答案

1导数的经典复习一、求切线、极值等问题：1．已知函数2()1fxx与函数()ln(0)gxaxa．⑴若()fx，()gx的图象在点1,0处有公共的切线，求实数a的值；⑵设()()2()Fxfxgx，求函数()Fx的极值．【解析】⑴因为(1)0f，(1)0g，所以点1,0同时在函数()fx，()gx的图象上因为2()1fxx，()lngxax，()2fxx，()agxx，由已知，得(1)(1)fg，所以21a，即2a⑵因为2()()2()12lnFxfxgxxax（0)x所以222()()2axaFxxxx当0a时，因为0x，且20,xa所以()0Fx对0x恒成立，所以()Fx在0,上单调递增，()Fx无极值当0a时，令()0Fx，解得1xa，2xa（舍）所以当0x时，()Fx，()Fx的变化情况如下表：x(0,)aa(,)a'()Fx0+()Fx极小值所以当xa时，()Fx取得极小值，且2()()12ln1lnFaaaaaaa．综上，当0a时，函数()Fx在0,上无极值；当0a时，函数()Fx在xa处取得极小值1lnaaa．二、求函数的单调性，最值问题2．已知函数ln()()xafxaxR，⑴若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线10xy平行，求a的值；⑵求函数()fx的单调区间和极值；⑶当1a，且1x≥时，证明：()1fx≤．【解析】⑴函数()fx的定义域为|0xx，所以21ln()xafxx，又曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线10xy平行，所以(1)11fa，即0a．⑵令()0fx得1eax．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x1(0,e)a1ea1(e,)a()fx+0()fx极大值2由表可知：()fx的单调递增区间是1(0,e)a，单调递减区间是1(e,)a所以()fx在1eax处取得极大值，11()(e)eaafxf极大值．⑶当1a时，ln1()xfxx，由于[1,)x，要证ln1()1xfxx≤，只需证明ln1xx≤，令()ln1hxxx，则11()1xhxxx，因为1x≥，所以()0hx≥，故()hx在[1,)上单调递增，当1x≥，()(1)0hxh≥，即ln1xx≤成立．故当1x≥时，有ln11xx≤，即()1fx≤．3．已知函数1()lnfxaxx，aR．⑴若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线20xy垂直，求a的值；⑵求函数()fx的单调区间；⑶当1a，且2x≥时，证明：(1)25fxx≤．【解析】⑴函数()fx的定义域为|0xx，21()afxxx．又曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线20xy垂直，所以(1)12fa，即1a．⑵由于21()axfxx．当0a≥时，对于(0,)x，有()0fx在定义域上恒成立，即()fx在(0,)上是增函数．当0a时，由()0fx，得1(0,)xa．当1(0,)xa时，()0fx，()fx单调递增；当1(,)xa时，()0fx，()fx单调递减．⑶当1a时，1(1)ln(1)1fxxx，2,x．令1()ln(1)251gxxxx．2211(21)(2)()21(1)(1)xxgxxxx．当2x时，()0gx，()gx在(2,)单调递减．又(2)0g，所以()gx在(2,)恒为负．所以当[2,)x时，()0gx≤．3即1ln(1)2501xxx≤．故当1a，且2x≥时，(1)25fxx≤成立．4．已知函数3221()(1)(,)3fxxaxaxbabR⑴若1x为()fx的极值点，求a的值；⑵若()yfx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为30xy，求()fx在区间[2,4]上的最大值；⑶当0a时，若()fx在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．【解析】⑴22()21fxxaxa∵1x是()fx的极值点，∴(1)0f，即220aa，解得0a或2．⑵∵(1,(1))f在30xy上．∴(1)2f∵(1,2)在()yfx上，∴21213aab又(1)1f，∴21211aa∴2210aa，解得81,3ab∴22218(),()233fxxxfxxx由()0fx可知0x和2x是()fx的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833ffff∴()fx在区间[2,4]上的最大值为8．⑶因为函数()fx在区间(1,1)不单调，所以函数()fx在(1,1)上存在零点．而()0fx的两根为1a，1a，区间长为2，∴在区间(1,1)上不可能有2个零点．所以(1)(1)0ff，即2(2)(2)0aaa．∵20a，∴(2)(2)0,22aaa．又∵0a，∴(2,0)(0,2)a．5．已知函数()2lnpfxpxxx．⑴若2p，求曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程；⑵若函数()fx在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；【解析】⑴当2p时，函数2()22lnfxxxx，(1)222ln10f．222()2fxxx，曲线()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)2222f．从而曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程为02(1)yx，即22yx．⑵22222()ppxxpfxpxxx．令2()2hxpxxp，要使()fx在定义域(0,)内是增函数，只需()0hx≥在4(0,)内恒成立．由题意0p，2()2hxpxxp的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)xp，∴min1()hxpp，只需10pp≥，即1p≥时，()0,()0hxfx≥≥∴()fx在(0,)内为增函数，正实数p的取值范围是[1,)．6．已知函数2()(2)eaxfxaxx，其中a为常数，且0a.（Ⅰ）若1a，求函数()fx的极值点；（Ⅱ）若函数()fx在区间(2,2)上单调递减，求实数a的取值范围.解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)exfxxx，所以2()(2)exfxx，.………………………1分令()0fx，得2x，.………………………2分()fx，()fx随x的变化情况入下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx－0+0－()fx极小值极大值………………………4分由上表可知，2x是函数()fx的极小值点，2x是函数()fx的极大值点.………………………5分（Ⅱ）22()[(22)2]eaxfxaxaxa,.………………………6分由函数()fx在区间(2,2)上单调递减可知：()0fx对任意(2,2)x恒成立，.………………………7分当0a时，()2fxx，显然()0fx对任意(2,2)x恒成立；.…………………8分当0a时，()0fx等价于22(22)20axaxa，5因为(2,2)x，不等式22(22)20axaxa等价于2222axxa,.………………………9分令2(),[2,2]gxxxx，则22()1gxx，在[2,2]上显然有()0gx恒成立，所以函数()gx在[2,2]单调递增，所以()gx在[2,2]上的最小值为(2)0g，.………………………11分由于()0fx对任意(2,2)x恒成立等价于2222axxa对任意(2,2)x恒成立，需且只需2min22()agxa，即2220aa，解得11a，因为0a，所以01a.综合上述，若函数()fx在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为01a..………………………13分7．已知函数(1)()ln1axfxxx．(Ⅰ)若函数()fx在(0,)上为单调增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)设m，nR，且mn，求证：lnln2mnmnmn．8．已知函数2()(2),(,)xfxxaxexaR.（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)在R上单调，求a的取值范围；（Ⅲ）当52a时，求函数f(x)的极小值。解:2()[(2)2]xfxexaxa（Ⅰ）当a=0时，2()(2),xfxxe2()(22)xfxexx,………………2分(1)3fe,(1)5fe,∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0…………………………………………………………4分6（Ⅱ）2()[(2)2]xfxexaxa,考虑到0xe恒成立且2x系数为正，∴f(x)在R上单调等价于2(2)20xaxa恒成立.∴(a+2)2-4(a+2)0,∴-2a2，即a的取值范围是[-2，2]，……………………8分（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）（Ⅲ）当52a时,25()(2),2xfxxxe211()()22xfxexx,………………………………………………………………10分令()0fx，得12x，或x，令()0fx，得12x，或x，令()0fx，得112x………………………………分x,()fx,f(x)的变化情况如下表X1(,)2121(,1)21(1,)()fx+0-0+f(x)极大值极小值所以，函数f(x)的极小值为f(1)=12e……………………………………14分9．已知函数22()lnaxfxxe，（aeR,为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()fx的递增区间；（Ⅱ）当1a时，过点(0,)Pt()tR作曲线()yfx的两条切线，设两切点为111(,())Pxfx，222(,())Pxfx12()xx，求证：120xx+=．解：（Ⅰ）函数()fx的定义域是(,0)(0,)．222()()aeaxfxxeex.当0a时，由2()0fxx，解得0x；7当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0exa；当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0x，或exa．所以当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)；当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)ea；当0a时，函数()fx的递增区间是(,)ea，(0,)．…………8分（Ⅱ）因为222()()exfxxeex，所以以111(,())Pxfx为切点的切线的斜率为112()exex；以222(,())Pxfx为切点的切线的斜率为222()exex．又因为切线过点(0,)Pt，所以21111122()ln(0)xextxxeex；22222222()ln(0)xextxxeex.解得，221txe，222txe.则2212xx.由已知12xx¹所以，120xx+=．10．已知函数()lnaxfxxx,其中a为大于零的常数.（I）若曲线()yfx在点（1，(1)f）处的切线与直线1-2yx平行，求a的值；（II）求函数()fx在区间[1，2]上的最小值.解：