二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题

二次函数与一元二次方程教学案二次函数与一元二次方程之间的联系1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．这两点间的距离2214bacABxxa.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由:⑵根据图象的位置判断二次函数中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.总结：⑴一元二次方程02cbxax的实数根就是对应的二次函数xy(,)(,)Oxy(,)OxyOcbxaxy2与x轴交点的.⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21xx、）二次函数cbxaxy2与一元二次方程02cbxax与x轴有个交点acb420，方程有的实数根是.与x轴有个交点这个交点是点acb420，方程有的实数根是.与x轴有个交点acb420，方程实数根.⑶二次函数cbxaxy2与y轴交点坐标是.经典例题讲解【例1】已知：关于x的方程23(1)230mxmxm．⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称．①求二次函数1y的解析式；②已知一次函数222yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy≥均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数23yaxbxc的图象经过点(50)，，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥，均成立，求二次函数23yaxbxc的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y用只含a的表达式表示出来,再利用132yyy≥≥,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当0m时，原方程化为033x，解得1x，（不要遗漏）∴当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，∵222[31]4236930mmmmmm△≥.∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称，∴0)1(3m.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴1m.∴抛物线的解析式为121xy.②∵221212210yyxxx≥，（判断大小直接做差）∴12yy≥（当且仅当1x时，等号成立）.（3）由②知，当1x时，120yy.∴1y、2y的图象都经过1,0.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）∵对于x的同一个值，132yyy≥≥，∴23yaxbxc的图象必经过1,0.又∵23yaxbxc经过5,0，∴231545yaxxaxaxa.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax.∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥均成立，∴320yy≥，图7-1-2-3-3-2-1-4-5-621123∴2(42)(25)0yaxaxa≥.又根据1y、2y的图象可得0a，∴24(25)(42)04aaaya最小≥.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴2(42)4(25)0aaa≤.∴2(31)0a≤.而2(31)0a≥.只有013a，解得13a.∴抛物线的解析式为35343123xxy.【例2】关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得22224(1)0mm（）解得54m210m解得1m当54m且1m时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得212(2)11mm解得31mm，（舍）(始终牢记二次项系数不为0)28101yxx（3）抛物线的对称轴是58x由题意得114B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握)14x与抛物线有且只有一个交点B(这种情况考试中容易遗漏)另设过点B的直线ykxb（0k）把114B，代入ykxb，得14kb，114bk114ykxk28101114yxxykxk整理得218(10)204xkxk有且只有一个交点，21(10)48(2)04kk解得6k162yx综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x，162yx【例3】已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．【例4】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.解：（1）由题意得，168(1)0k≥．∴3k≤．∵k为正整数，∴123k，，．（2）当1k时，方程22410xxk有一个根为零；当2k时，方程22410xxk无整数根；当3k时，方程22410xxk有两个非零的整数根．综上所述，1k和2k不合题意，舍去；3k符合题意．当3k时，二次函数为2242yxx，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246yxx．（3）设二次函数2246yxx的图象与x轴交于AB、两点，则(30)A，，(10)B，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12yxb经过A点时，可得32b；当直线12yxb经过B点时，可得12b．由图象可知，符合题意的(3)bb的取值范围为1322b．AOxy864224242468B