2011年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：20111854所属学校（请填写完整的全名）：南京理工大学参赛队员(打印并签名)：1.严润羽2.于跃3.王谦指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李宝成日期：2011年9月11日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：题目：交巡警服务平台的设置与调度摘要第一题第一问：要求给出分配A区平台管辖范围的解决方案，本文先利用图论有关知识，用MATLAB软件实现Floyd算法，求出各平台到所有路口的最短路径矩阵，除以速度即得最短时间矩阵，然后在最短时间矩阵中分别按：1.最快出警时间原则；2.同时兼顾出警时间和平台工作量均衡原则（方差最小），得到两个优化模型并求解。第一题第二问：求对A区13个出口实行快速封锁的最佳方案。这是一个优化问题，在满足约束条件（每个路口由一个交巡警平台负责封锁，每一个交巡警服务平台的警力最多只能封锁一个交通要道）的基础上，使得封锁各个出口的时间中的最大值最小。由此建立的优化模型用LINGO编程，最后得出一个最佳方案。第一题第三问：先通过分析计算说明A区交巡警服务平台的设置不合理，然后建立了一个0-1规划模型，将题目中的合理性要求（每个平台的工作量均衡、各个地方的出警时间不能过长、增加的平台数为2至5个等）作为约束条件，将增加的平台数最少作为目标函数，用LINGO求解，得出增加4个平台的最优方案。第二题第一问：将主城分成六个区，先根据附表中每个地区的案发率、人口、面积用MATLAB大概计算出每个地区的合理交巡警平台数的范围。然后在每个地区内，由这个范围，在原来平台的基础上增加、减少或更换一些平台，使得该地区的服务平台满足一定的合理性要求，这个作为约束条件。在此基础上，要求对平台所做的变动最小，这个作为目标函数，构造出一个优化模型。通过LINGO得出最优方案，与原方案比较，给出平台的修改方案。第二题第二问：求围堵方案，本文通过MATLAB编程，将嫌犯在一定时间t内能到达的点的集合B求出，并以B为基础进一步求出警察所需要封锁的点的集合C，且证明了只要警察在时间t内封锁C中所有点，就能完全围堵住嫌犯以便展开下一步搜捕工作。确定了这些点之后，运用第一题第二问的封锁优化模型，以总时间最小作为优化目标，以警察在时间t内封锁C中所有点为约束条件，用LINGO求得一个最佳围堵方案。关键词：交巡警服务平台0-1规划floyd算法lingo1一、问题重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。附图1：A区的交通网络与平台设置的示意图2附图2：全市六区交通网络与平台设置的示意图说明：（1）图中实线表示市区道路；红色线表示连接两个区之间的道路；（2）实圆点“·”表示交叉路口的节点，没有实圆点的交叉线为道路立体相交；（3）星号“*”表示出入城区的路口节点；（4）圆圈“○”表示现有交巡警服务平台的设置点；（5）圆圈加星号“○*”表示在出入城区的路口处设置了交巡警服务平台；（6）附图2中的不同颜色表示不同的区。二、问题分析本题主要在不同的要求下，研究交巡警平台的管辖范围分配问题和交巡警平台的优化设置问题，要考虑的因素主要有：警力到达路口的时间，各个交巡警平台间工作量的分配平衡性，平台服务的群众数量等等。第一题第一问可以首先根据图论的相关知识和floyd算法求出各点间的最短距离（时间）矩阵，然后根据具体的要求（时间最短、工作量均衡）确定规划目标，用求解一般规划问题的方法求解得到最优方案。第一题第二问很明显是一个优化模型，对某一地区实现快速全封锁就是指在最短的时间内能够封堵所有出口，即封堵每一个出口所用时间中的最大值要最小，由此建立优化模型即可。第一题第三问也是一个优化模型，题目中提出的要求（工作量均衡、出警时间尽量在3分钟以内、出警时间不能过长）即为约束条件，目标函数定为增加的平台个数最少，因为这样可以避免资源浪费。3第二题第一问的分析应该加入人口和面积因素，全市区分为六块，先分析计算出每个地区相应的一个平台数的合理范围，然后在每个地区内类似于第一题第三问的方法求出具体的修改方案。对于本题的最后一问即围堵方案的求解，难点在于如何定义已将犯罪嫌疑人围堵住，我们可以求解出嫌犯能逃到的范围，进而确定需要封锁的路口，从而将问题转化为与第一题第二问类似的问题，用求规划问题的方法也能求解出最佳方案。三、模型假设1）假设城区所有道路畅通无阻；2）假设相邻两个交叉路口之间的道路为直线；3）假设所有事发现场均在城区路口节点上；4）假设交巡警警车无故障发生；5）假设交巡警警车在去事发地时匀速行驶；6）假设有突发事件发生时交巡警立即接到报警；7）假设每个平台的工作量等于其所管辖的路口的案发率之和。四、符号说明为了便于说明问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表一所示，其它一些变量将会在文中陆续说明。表一部分符号说明符号说明ijx当ijx=1时表示第i个节点设置的交警平台管辖第j个路口节点当ijx=0时第i个节点设置的交警平台不管辖第j个路口节点ja第j个路口节点的案发率ic第i个交警平台的工作量mA表示各个节点ijt第i个交警平台到第j个路口节点所用的时间五、模型的分析建立与求解45.1问题一的模型5.1.1求各交巡警服务平台分配管辖的范围的模型为了求出A区各交巡警服务平台分配管辖的范围，须先求出任意两个节点之间的最短距离，求很多节点之间最短距离我们采用了图论中的floyd法。Floyd算法的基本思想：可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。【8】我们采用Floyd算法，用matlab【4】编程求出A区每两个节点之间的最短距离，由警车速度60km/h，将最短距离转化为最短时间。求出任意两个节点之间的最短时间后有以下两个模型求出个平台的管辖范围：a.考虑时间最短模型用Floyd算法得出结果后，对每个节点分别筛选出到该节点所用时间最短的平台。得到的结果如表二：表二各交巡警服务平台所管辖的节点及工作量交巡警服务平台交巡警服务平台所管辖的节点工作量（次）1167686971737475767810.32239*40434470729.733545565665.64457606263646.65549505152535658599.7662.5773032474861*9.6883346599313435458.210101.6111126274.612122541313212223248.514142.5151528*29*4.81616363738*5171741425.31818808182836.1191977793.452020848586878889909192*11.5表格中加星号的数字代表时间超过三分钟的节点。b.考虑时间尽量少和各个平台的工作量尽量均衡的模型用Floyd算法得出结果后，题目要求出警时间尽量小于三分钟，因此我们以时间尽量少为原则，选出各平台到各个节点所用时间小于三分钟的所有情况（如果某个节点到所有平台所用时间都大于三分钟，那么选择时间最短的那种情况）。然后以各个平台的工作量尽量均衡为原则利用非线性规划模型选出最优的一种组合。工作量尽量均衡以各平台工作量的方差来衡量。其中各平台的工作量为各平台所管辖的各节点的案发率之和。因此我们建立如下模型：step1.以时间尽量少为原则筛选出各平台到各个节点所用时间小于三分钟的所有情况（如果所用时间都大于三分钟就选择时间最短的那种情况）。step2.以工作量尽量均衡为原则，得到如下非线性规划模型：目标函数是各平台的工作量的方差最小，所以：目标函数为：min1b=21(-)niidc约束条件：①各个平台的工作量ic=921jijjax②各个平台工作量的平均值d=201120iic③每个节点只受一个平台管辖2011ijix运用数学软件Lingo【2】编程求解得到的结果如表三：表三各交巡警服务平台所管辖的节点交巡警服务平台交巡警服务平台所管辖的节点工作量（次）11687273757879807.52239*4071747.43344545570767.2445760626365667.355495253565.866505158596.477604861*6.5883546476.699323637456.210101.66表中加星号的数字代表出警时间超过三分钟的路口节点5.1.2求重大突发事件该区交巡警服务平台警力合理的调度方案的模型对于重大突发事件要对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁，所用的时间长短取决于封锁各个节点时所用时间最长的那个节点，因此全面封锁时只需要使在所有封锁的节点中花费时间最长的那个节点的封锁时间尽量少。所以我们以在所有封锁节点中花