2015特殊四边形动点问题专题训练及解析

12015特殊四边形动点问题专题训练及答案解析（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD，即∠ADC=90°，由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形．（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．2（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。（1）求证：OE=OF（2）若CE=12，CF=5，求OC的长（3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。（1）证明：∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC，同理：OF＝OC∴OE＝OF（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900在Rt△ECF中，EF2=CE2+CF2=122+52=169∴EF=13由（1）可知OE＝OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形由（2）可知∠ECF＝900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝900，MN∥BC∴∠AOM＝∠ACB＝900，由（3）知四边形AECF是矩形∴四边形AECF是矩形3（四）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？（1）解：连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形BEDF为平行四边形．（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形BEDF为矩形．（五）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？解：（1）连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OCDBAEF4∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形