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圆锥曲线综合题“入题、破题”之道以2017年浙江卷21题为例如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)分析:本题题干简洁,并没有错综复杂的点线和几何关系.但此题第(1)问并没有按常规“出牌”,不求圆锥曲线的方程而是求直线斜率范围。“看图识题”如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析:第(1)问“求直线斜率范围”,不妨“依题行事”,直接表示出“所求对象”,只问一句“能表示否?”2141xykAP21412xx21x)1,1(APk完成求解,可作再思考,若背景是“椭圆”之下呢?发现yP=f(xP)就不甚简单了则“所求对象”就不好表示了x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)xyOABPQ如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题x2=y)41,21()49,23(或(x,x2)1ABk而(x,y)分析:从几何角度可直观确定“直线AP的斜率”介于“抛物线在点A处切线的斜率”与“直线AB的斜率”之间2xyxy21|'21xy则)1,1(APk所以抛物线在点A处切线的斜率为-1如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题则可以设出“所求对象(AP斜率)”分析:若在“椭圆背景下”,我们说“所求对象(AP斜率)”就不好表示了,得到AP直线方程而AP直线与曲线相交为P自然会联立方程组韦达定理x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2))21(41:xkyAP则直线设直线AP的斜率为k,412kkxy即yxkkxy241204122kkxx232121kkxxPA21kxP0)1(2k1k11k2321Pxx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析:做题切忌盲目掉入“套路(设直线联立方程组韦达定理)”之中.应学会分析,理解题意分析题意有三条大道:②“逆推法”,即“执果索因”.从结论入手逆向分析,“要求次需求何”不断逆推,探索出结论与条件的联系;①“顺推法”,即“执因索果”.从条件入手步步分析转化;③“双管齐下”,即先“顺推”再“逆推”,找到交汇之处.x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析:对于此题第(2)问我们可选择“逆向分析”(因本身已知条件简洁,没什么可以转化).第①步:要求|PA|·|PQ|,应先求出|PA|,|PQ|自问:如何求?第②步:需分别求出点P,点Q的坐标可利用两点间的距离公式直接求自问:如何求?点P:直线AP与抛物线的交点点Q:直线AP与直线BQ的交点第③步:需设直线AP分别联立直线AP与抛物线方程,直线AP与BQ方程求点P,点Q的坐标x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2))21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ怕怕!!理论可行,现实有些残酷x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)在解决圆锥曲线综合题时,能探索出解题思路,已经跨出了很大一步,但是离最终的成功胜利却仍然面临一个巨大的挑战——计算问题故而寻求简捷、合理的运算途径,优化计算过程显得尤为重要)21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ怕怕!!理论可行,现实有些残酷两次计算挑战面临的是何困难?计算|PQ|你是用什么方法计算|PQ|?两点间的距离公式来一场自我对话,寻求破题之道是不是方法出问题了?若不用两点间距离公式计算长度,那该用什么呢?||1||2QPPQxxkPQ||||||APAQPQ||||||22APBQABx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)若每次等到遇见困难时,才想寻求优化方案,可能很多同学都已精疲力尽了,重新分析可能也很费时。是否在一开始分析思路时,一同进行优化计算的思考呢?这就要求学会适时预测所选方法所携带的计算量问题第①步:要求|PA|·|PQ|,应先求出|PA|,|PQ|自问:如何求?利用两点间的距离公式直接求自问:计算量如何?221221)()(||yyxxAB公式形式比较繁琐自问:若不选用“两点间的距离公式”计算,有没有其它方法计算|PA|,|PQ|?||1||2APPAxxkPA||1||2QPPQxxkPQ好处:只需计算点P,Q的横坐标,只计算横坐标之差)21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ)1(23422kkkxQ)1(1|1|1||1222kkkkxxkAP|)21()1(234|1||12222kkkkkxxkQP)1()1(||||3kkPQPA11)1()1()(3kkkkf记||||||||||||22APBQABAPAQPQ1)1()1(22kkkx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2))21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP)1(1||1||22kkxxkPAAP||||||||||||22APBQABAPAQPQ22||AB1|22|||2kkBQ22||||||BQABAQ||||||APAQPQ1)1(4822kk1)1(22kk)1(11)1(222kkkk1)1()1(22kkk)1()1(||||3kkPQPA11)1()1()(3kkkkf记x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)前面三种解法,我们始终停留在|PA|·|PQ|“本身距离”的意义若|PA|·|PQ|不从距离意义理解,你能想到什么?||||PQPAPQPA)(BQPBPA如何计算这两个向量呢?有两条路:坐标或转化成其它已知向量PBPA)49,23()41,21(22xxxx3)21)(23(xx2321x此法大大减少了计算量与计算过程,可谓“神来之笔”,出奇制胜。x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)点评:本题并无向量,但引进向量,达到了“出奇制胜”的效果.事实上平面向量是十分活跃的一个“角色”,它融数、形于一体,与圆锥曲线问题自然交汇,亲密接触,无论对试题的表述,还是在揭示曲线的几何性质方面都有它独特的优势。学会跳出圆锥曲线本身的限制,站在其他知识(向量视角、三角视角、不等式视角、几何意义视角等)的角度审视所面临的问题,或许会有一番别开生面的场景x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)M||||PQPADC||||PDPC|)||(|MPMC|)||(|MPMD])45()21[(2222xx1632324xxx2321x解:易知点Q在以AB为直径的圆上,过ABQ可作圆M,M是AB的中点|)|(|)|(MPRMPR22||MPR易得半径R=,2)45,21(M连接MP交圆于点C、D妙哉!!“入题”之道①审题之时,尽可能在图中表征出条件,以便看图即能识题②依题行事,求什么就列什么③理解为上,注重分析(“顺推、逆推、双管齐下”)“破题”之道①若遇困境,切莫放弃,切中要害,寻求破解之法②学会在分析探索思路之时,适时预测所选方法所携带的计算量问题,以便一入题即可寻求简捷、合理的运算途径③在分析转化时,尝试从不同角度、不同维度看,或许有一番别开生面之景象王国维在《人间词话》中说:“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外”。“其实解题教学也应如此,入乎其内(分析理解为上),才能够认识问题更多的细节,对其本质了若指掌;出乎其外(跳出题意本身限制),或许能看到问题的不同方面,对其产生更为全面的理解,甚至能够另辟蹊径”——这大概就是圆锥曲线综合题的“入题、破题”之道的真正意义所在
本文标题:2017年浙江高考卷21题解析几何
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