第六章机械波

第13章机械波战机突破音障的瞬间§13.1波的分类主要内容：1.什么是波？2.波的特点？3.机械波、电磁波、物质波什么是波？1.机械波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波。波的分类机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。产生条件波源：作机械振动的物体｛弹性介质：承担传播振动的物质2.电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波。3.物质波物质波（也称概率波）是微观粒子的一种属性，具有完全不同的性质，遵从量子力学理论。§13.2横波和纵波主要内容：1.横波2.纵波3.产生横波和纵波的介质条件横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。(气体和液体内只能传播纵波，不能传播横波）结论0t4Tt2TtTt43TtTt451234567891011121314151617184Tt2TtTt43TtTt45Tt230t123456789101112131415161718横波纵波(1)波动中各质点并不随波前进；(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播。§13.3简谐波波长和频率主要内容：1.简谐波2.波长和频率3.一维波的波动微分方程13.3.1简谐波波长和频率一维波的波动方程（波函数）)(x,),(tftxyyx简谐波的波函数)cos(),(0kxtAtxy简谐波波函数的物理意义(1)x=x0，给出x0处质元振动方程)cos(),(000kxtAtxyty(振动曲线)O(2)t=t0，给出t0时刻的波形图)cos(),(000kxtAtxyyux(波动曲线)O，为初相位。t1时刻的波形Oyxuxx1(3)x和t都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布。t1+Δt时刻的波形x1)cos(),(01111kxtAtxy)cos(),(02222kxtAtxyttt12xxx12tktux)(若)cos(),(01122kxtAtxy),(11txyt时刻的相位：0kxt0波速u也称作相速度。同一波线上相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。π2//1T振动状态在媒质中的传播速度。:）波长（:）周期（T:）频率（:）波速（u（波长反映了波的空间周期性）uT(周期表征了波的时间周期性)频率与周期的关系为波速与波长、周期(或频率）的关系为/π2k:角波数k2π距离中完整波的数目。简谐波波函数的其它形式)cos(),(0kxtAtxy])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy将k=2π/λ、uT=λ、ω=2πν=2π/T代入有若波沿轴负向传播时，则有波函数:)cos(),(0kxtAtxy])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为m)10.050(cos04.0xty)210.0250(π2cos04.0xtym04.0As04.0502Tm2010.02m/s500Tua.比较法(与标准形式比较）])(π2cos[),(0xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求(1)π2)10.050(π)10.050(π12xtxts04.012ttTπ2)10.050(π)10.050(π21xtxtm2012xxb.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）m040max.yA振幅波长周期波速m/s500Tu)10.050(πsinπ5004.0xttyvm/s28.65004.0maxv(2)质点振动的最大速度。u如图，在下列情况下试求波函数：)]81(π4cos[tAyA(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA1xx已知A点的振动方程为：u(1)在x轴上任取一点P，该点振动方程为：)]81(π4cos[uxtAyp)]81(π4cos[),(uxtAtxy波函数为：解P1xBAxu(2)以B为原点uP1xBAxB点振动方程为：)]81(π4cos[)(1uxtAtyB波函数为:)]81(π4cos[),(1uxuxtAtxy)]81(π4cos[tAyA)]81(π4cos[1uxxtA)]81(π4cos[),(1uxxtAtxy)]81(π4cos[),(uxtAtxy(3)以A为原点：以B为原点：13.3.2平面波的波动微分方程)cos(),(0kxtAtxy)cos(0222kxtAty)cos(0222kxtAkxy2222222221tyutykxy由知(2)不仅适用于机械波，也适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为2222222221tuzyx说明§13.4波速主要内容：1.波速2.横波和纵波的波速3.由波动微分方程求波速a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：Tutb.均匀细棒中，纵波的波速为：波速：亦称相速度，其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。T—张力—线密度例：l0l0+l长变YulllYSFY—杨氏模量ρ—密度FFc.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：F切变GutSxhhxGSFG:切变弹性模量由于:GY,固体中u横波u纵波d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出Bul容变ppppV0+VVVBpB:流体的容变弹性模量e.稀薄大气中的纵波波速为pMRTul§13.5波面和波线惠更斯原理主要内容：1.波面和波线2.惠更斯原理3.惠更斯原理的应用u沿波的传播方向作的有方向的线。波线(波线)在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。波面波前在某一时刻，传播到最前面的波面。波面波线（波面）13.5.1波面和波线球面波波面波线xyz柱面波说明:（1）球面波平面波。（2）在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。13.5.2惠更斯原理(1)已知某一时刻的波前，可用几何方法决定下一时刻波面；应用R1R2S1S2O1S2Sttttur惠更斯原理：行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；所有子波源各自向外发出许多子波；各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)解释反射、折射、衍射现象；2121sinsinuututuiBCiA由几何关系知：DEFu1u2u2△t···a折射现象衍射现象(3)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(4)不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。§13.6波的能量能流密度主要内容：1.波的能量能密度2.能流密度3.波的吸收13.3.1波的能量和能量密度(以匀质细杆中简谐纵波为例）：oxx+xx自由状态t时刻x截面x+x截面x),Δ(txxy),(txy截面SxSmΔΔ)(sin21)(212122222kxtxAStymmWkv则微元的动能为设纵波沿x方向传播，取微元)cos(kxtAy由杨氏模量的定义和胡克定律ykxyYSFΔΔΔ微元的势能为2py)(21kW2y)(Δ21xYS2)Δy(Δ21xxYS20Δ)y(Δ21xxYSx)(sin21222kxtkxAYS)(sin21222kxtxASYuuk,kW微元的机械能为pk)(sin222kxtxAS能量密度xSWw)(sin222kxtA平均能量密度TtT0d1ww2221A(1)在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.讨论(2)质元机械能随时空周期性变化，仍是一波动过程，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程也是能量的传播过程。13.6.2能流密度在一个周期中的平均能流为u△tttSuPwuSwuStPTPTw0d1能流密度：通过垂直于波线截面单位面积上的能流。uSPJwdd大小：方向：波的传播方向uJw矢量表示式：能流：单位时间内通过某一截面的波动能量.JuSus波的强度：一个周期内能流密度大小的平均值。wwutTutJTJITT00dd1uA22212A球面波的振幅（介质不吸收能量）222212212121uSAuSA由1S2S1r2r22222121π4π4rArA2211rArA令得00rAAr（A0为离原点（波源）r0距离处波的振幅）])(cos[),(0000urrtrrAtry球面波的振幅随r增大而减小.则球面简谐波的波函数为13.6.3波的吸收0IxIxOdx波在吸收媒质中传播时,实验表明IdIxdxeII0为介质吸收系数，与介质的性质、温度及波的频率有关。IxI0I0xOIxIIxII0dd0应用：(1)增加吸收.(2)减少吸收.§13.7波的叠加原理波的干涉主要内容：1.波的叠加原理2.波的干涉现象3.波的干涉条件4.波的干涉规律13.7.1波的叠加原理(1)波传播的独立性(2)叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动。v1v221yyy注意:(1)波的叠加原理仅适用于线性波的问题.(2)波的叠加原理对电磁波也适用.13.7.2波的干涉干涉现象:当两列（或多列）波叠加时，其合振动的振幅A和合强度I将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱的现象。相干波相干条件频率相同、振动方向相同、相位差恒定。相干波源满足相干条件的波产生相干波的波源干涉规律)cos(11001tAy)π2cos(1111rtAy]π2cos[212122122212rrAAAAA)cos(21tAyyyP点处的合振动方程为1r2r1S2SS1S2)π2cos(2222rtAyP点的振幅为)cos(22002tAyPPcos22121IIIIIP点处波的强度为波源的振动方程波在P点一起的振动方程1212π2)(rr其中相位差为讨论1r2r1S2SP空间点振动情况分析:,2,1,0π2π2)(1212kkrr2121max21max2IIIIIAAA,2,1,0π)12(π2)(1212kkrr2121min21min2||IIIIIAAA当(干涉相长)当(干涉相消)21若π2π212rr21rr(波程差),2,1,0,21kkrr（干涉相长）,2,1,0,2)12(21