一元二次方程根与系数关系中考难题突破

1一、巧妙运用韦达定理例1先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。解法1∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3由已知得：α＋β＝－2αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1＋9x22＝x2＋92∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．3则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③4把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．5故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．6课堂练习：1.已知关于x的方程4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的两个根。求以1y、2y为根的一元二次方程。2.已知关于x的方程x2－42kx＋k＝0有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围（2）化简|－k－2|＋442kk3.已知关于x的方程（a2－1）x2＋2(a＋2)x＋1＝0有实数根。求a的取值范围。（提示：分a2－1＝0，a2－1≠0讨论）74.已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k－1＝0①（1）求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程y2－(x1＋x2－2k)y＋(x1－k)(x2－k)＝0②的根。其中x1、x2是方程①的两根求代数式（a1－1aa）÷14a·aa12的值。课后巩固（一）基础练习81.已知方程2x2－2ax＋21(a＋4)a＝0的两实根分别为x1、x2且满足(x1－1)(x2－1)＝100109，求a的值。2.关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。3.设α、β是方程x2＋10x＋2＝0的两根，不解方程，求＋的值。94.已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k的值。如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4k20的解得k41.∴当k41时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1＋x2＝－212kk＝0①解得k＝21,经检验k＝21是方程①的解。∴当k＝21时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。105.如图已知△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，若AD、BD的长是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，且tgA－tgB＝2，CD＝1，求p、q的值，并解此二次方程。（二）能力提升题1.关于x的方程x2－(2a－1)x＋(a－3)＝0.（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为235，求实数a的值。112.已知方程5a2＋2002a＋9＝0及9b2＋2002b＋5＝0且ab≠1，求ba的值。3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5。（1）k为何值时，△ABC是以BD为斜边的直角三角形。（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。（三）思维拓展题已知1x、2x是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。12（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值。信息反馈：学生今日表现：老师寄语：家长意见：家长签字：