九上(学生)--相似三角形讲义

暑假讲义九年级数学相似三角形1第1讲相似图形与成比例线段【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果acbd，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一：1、如图所示：（1）求线段比ABBC、CDDE、ACBE、ACCD（2）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________5、已知线段a=12、b=23、c=23、若acbx，则x=_________若0byyyc，暑假讲义九年级数学相似三角形2则y=__________6、下列四组线段中，不成比例的是（）Aa=3b=6c=2d=4Ba=1b=2c=3d=6Ca=4b=6c=5d=10Da=2b=3c=2d=6知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1）基本性质：如果acbd，那么adbc（两边同乘bd，0bd）在0abcd的情况下，还有以下几种变形bdac、abcd、cdab（2）合比性质：如果acbd，那么abcdbd（3）等比性质：如果acembdfn0bdfn，那么acemabdfnb例2填空：如果23ab，则a=2a=、abb=、abb=练习二：1、已知35ab，求abab2、若234abc，则23abca=_________3、已知mxny，则下列各式中不正确的是（）AmxnyBmnyxCymxnDxynm4、已知570xy，则xy=_______5、已知345xyz，求xyzxyz=________暑假讲义九年级数学相似三角形3第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1.理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC∽△CBA;2.知道相似多边形的主要特征3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1)如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?(2)问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的_______________。应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1如图、若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出EKKF==_____、ABAC=______。求FK的长?[活动2]平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCEKF暑假讲义九年级数学相似三角形42、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的3、归纳总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段。例1:如图在ABC中,90C，,3,2,5DEBCBDcmDCcmBEcm求EA的长解：例2如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ACAEABAD，又由AD=EC可求出AD的长，再根据ABADBCDE求出DE的长．解：[巩固练习]1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.暑假讲义九年级数学相似三角形52．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．[能力提升]1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．[归纳]判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．练习2：1、如图，在RtABC中，90C，DE⊥AC交AB于D，交AC于E，如果DE=5，AE=12，AC=28.求AB的长2、在ABC中，DE//BC，交AB于D，交AC于E，F为BC上一点，DE交AF于G，已知AD=2BD，AE=5，求（1）AGAF；（2）AC的长暑假讲义九年级数学相似三角形63、如图：在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=43，由此判断DE与BC的关系是___________,理由是____________________________4、如图：AM：MB=AN：NC=1：3，则MN：BC=__________5、如图：在ABC中，90C，四边形EDFC为内接正方形，AC=5，BC=3，求：AE：DF的比值。6、在ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，如果23ADDB，且AC＝10，求AE及EC的长。7．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．暑假讲义九年级数学相似三角形78、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)暑假讲义九年级数学相似三角形8第3讲相似多边形【学习目标】1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。暑假讲义九年级数学相似三角形9【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】[探究研讨][活动1]观察，图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、相似形定义：具有的图形称为相似形2、相似多边形：对应角，的多边形叫相似多边形3、相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC和⊿A1B1C1中若111;;CCBBAA．111111CAACCBBCBAAB则⊿ABC和⊿A1B1C1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．[例题解析]例1、（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A暑假讲义九年级数学相似三角形10错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2、如图：已知，四边形ABCD与四边形ABCD相似，求BC，CD长和D大小解：巩固练习11．在比例尺为1﹕10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．4如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角和的大小和EH的长度x．27.1-65暑假讲义九年级数学相似三角形11练习2：1、下列说法正确的是（）A任意两个菱形一定相似B任意两个矩形一定相似C有一个角是30的两个等腰三角形相似D任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB，在放大镜里看到的AOB的度数是___________3、在ABC中，BC＝15cm，AC＝45cm,AB＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是4、用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（）AA是原来的10倍B周长是原来的10倍C每个内角都发生了变化D以上说法都不对5.四边形ABCD与四边形ABCD相似图形，且A与A、B与B、C与C是对应点，已知AB＝10、BC＝8、CD＝８、AD＝６、30AB，求四边形ABCD的其余三边的边长及周长。6.正五边形ABCDE∽正五边形ABCDE，且2ABAB，若6CD，则CD＝＿＿＿○2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形ABCD与它相似，相似比为32，求等腰梯形ABCD的周长及面积。解：练习3：1、已知多边形A与多边形B相似，且多边形A与多边形B的周长比为1：3，则:BASS＝＿＿＿2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个暑假讲义九年级数学相似三角形12多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为＿4、如果把一个12ｃｍ21ｃｍ的矩形按相似比为34进行变换，得到的新矩形的周长为＿＿面积为＿＿＿＿5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm和4cm，它们的面积相差282cm，求这两个多边形的面积分别是多少？知识点五：相似三角形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的判定方法：（1）判定方法一：定义判定（2）判定方法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似例题6：如图：DE//BC，交AB于D、交AC于E，若AD：DB＝2：３，BC＝１５，求DE的长解：