聊城大学机械与汽车工程学院测试技术第三章

第3章信号分析与处理机械与汽车工程学院2信号分析与处理的目的：1）剔除信号中的噪声和干扰，即提高信噪比；2）消除测量系统的误差，修正畸变的波形；3）强化、突出有用信息，削弱无用部分；4）将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信号的特征，解释被测对象所表现的各种物理现象。机械与汽车工程学院3离散时间序列特征值分析NnnNxxN11limNnnNxxN11lima)均值b)绝对平均值机械与汽车工程学院4NnNxnxN1221lim2smrxxnnxnNxxN122][1limc)均方值d)均方根值e)方差▲机械与汽车工程学院51.相关的概念相关：指两变量之间的线性关系人的身高和体重的关系确定性信号：两个变量t、y之间用函数关系来描述y=10sin(2πƒt+φ0)(a)(b)(c)机械与汽车工程学院62.相关函数和相关系数随机变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述它们之间的线性相关程度，称为相关函数，表示为：式中，τ∈(-∞,∞)，表示时间位移，或时延，为连续变量，与t无关。(3-1)TTyxdttytxTR0,)()(1lim)((1).相关函数x(t)y(t)时延器乘法器y(t+τ)x(t)y(t+τ)积分器Rxy(τ)机械与汽车工程学院7用相关系数表示两个变量x、y之间的相关程度yxyxxyyxE))(((3-2)|ρxy|≤1当ρxy=±1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系当ρxy=0时，两随机变量x、y完全不相关xy1xyxy1xyxy10xyxy0xy例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。(2).相关系数机械与汽车工程学院8yxyxxyyxE))((TTyxdttytxTR0,)()(1lim)(设y(t+τ)是y(t)时延τ后的样本，对于x(t)和y(t+τ)的相关系数)()(tytx简写为ρxy(τ)yxTyxTxydttytxT0])(][)([1lim)(yxyxyxR)(,(3).相关函数和相关系数的关系推导机械与汽车工程学院9(3-4)TTyxdttytxTR0,)()(1lim)(设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+τ)是x(t)时移τ后的样本。令x(t)←x(t)，y(t+τ)←x(t+τ)，则得到x(t)的自相关函数Rx(τ)TTxdttxtxTR0)()(1lim)(自相关函数：描述随机过程一个时刻的幅值与另一个时刻幅值之间的依赖关系。或者说，现在的波形与时间坐标移动了之后的波形之间的相似程度。3.自相关函数(3-1)机械与汽车工程学院10yxyxyxxyR)()(,(3-3)自相关系数ρx(τ)22)()(xxxxR22)()(xxxxR(3-5)(3-6)机械与汽车工程学院11)()()()(lim)()()(lim)()(lim)(000xTTTTTTxRtdtxtxtdtxtxdttxtxR(1).自相关函数的性质1）Rx(τ)的值限制范围为22)()(xxxxR(3-7)1xy2222()xxxxxR2)Rx(τ)为偶函数t+τ←t(3-4)TTxdttxtxR0)()(lim)((3-6)(3-2)自相关函数的性质d(t+τ)=d(t)(3-8)机械与汽车工程学院12TTdttxT02)(1lim222xxx3）当时延τ=0时，Rx(0)达到最大值。即Rx(0)≥|Rx(τ)|TTxdttxtxTR0)0()(1lim)0(22)0()0(xxxxR22)()(xxxxR(3-4)TTxdttxtxR0)()(lim)((3-5)2222xxxx122xx(3-9)(3-10)自相关函数的性质x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性机械与汽车工程学院134）当τ→∞时，x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关0)(x2)(xxR22)()(xxxxR(3-4)TTxdttxtxR0)()(lim)((3-5)如果均值μx=0，则Rx(τ)→0。(3-11)(3-12)自相关函数的性质x(t)与x(t＋∞）彼此无关机械与汽车工程学院14TdttxtxT0)()(1)(xR5）当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx(τ)也是周期的，且周期相同若周期函数为x(t)=x(t+nT)，则其自相关函数为(3-4)TTxdttxtxR0)()(lim)(TnTtdnTtxnTtxT0)()()(1(3-13))(nTRxt←t+nT机械与汽车工程学院15TdtttxT020])(sin[)sin(1例3-1：求正弦函数x(t)＝x0Sin(ωt+φ)的自相关函数。TTxdttxtxTR0)()(1lim)(cos220x(3-14)保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息2T推导机械与汽车工程学院16自相关函数Rx(τ)的应用可根据自相关图的形状来判断信号的性质由性质5）知，周期信号的自相关函数仍为周期信号，τ→∞时，Rx(τ)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号，当τ→∞时，Rx(τ)衰减→0(μx=0)。利用自相关函数进行机械设备的故障诊断)()(xxRnTR(3-13)a)正弦波加随机噪声信号b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数)(tRx0机械与汽车工程学院17自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分。自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。机械与汽车工程学院184.互相关函数对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函数定义为TTxydttytxR0)()(lim)(互相关函数Rxy(τ)——描述一个系统中的一处测点上所得的数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它们之间的关系。也就是说，Rxy(τ)是表示两个随机信号x(t)、y(t)相关性的统计量。(3-15)x(t)y(t)时延器乘法器y(t+τ)x(t)y(t+τ)积分器Rxy(τ)机械与汽车工程学院19互相关系数yxyxxyxyR)()((3-16)|ρxy(τ)|≤1当ρxy(τ)=±1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系当ρxy(τ)=0时，两随机变量x、y完全不相关1)(xyxy1)(xyxyxy1)(0xyxy0)(xy机械与汽车工程学院201）互相关函数的限制范围为μxμy-σxσy≤Rxy(τ)≤μxμy＋σxσyyxxyyxxyR)()(|ρxy(τ)|≤1yxyxxyxyR)()((3-16)(3-18)(3-17)互相关函数的性质互相关函数的性质机械与汽车工程学院21)()()(1lim0TTtdtytxTTTdttytxT0)()(1limTTdttxtyT0))(()(1lim2)互相关函数是可正、可负的实函数x(t)和y(t)均为实函数，Rxy(τ)也应当为实函数。在τ=0时，由于x(t)和y(t)可正、可负，故Rxy(τ)的值可正、可负3)互相关函数非奇函数、非偶函数，而是Rxy(τ)=Ryx(-τ)TTxydttytxTR0)()(1lim)()(yxR(3-19)互相关函数的对称性令t-τ←td(t-τ)=d(t)机械与汽车工程学院224)Rxy(τ)的峰值不在τ=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高在τ0时，Rxy(τ)出现最大值，它反映x(t)、y(t)之间主传输通道的滞后时间。互相关函数的性质峰值点机械与汽车工程学院23TTxydttytxTR0)()(1lim)(TdtttTyx02100])(sin[)sin(5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零x(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ)TdttytxT02010])(sin[()sin(10不同频率不相关正余弦函数正交性推导(3-20)机械与汽车工程学院24TTxydttytxTR0)()(1lim)(6）两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy(τ)：求x(t)=x0Sin(ωt+θ)，y(t)=y0sin(ωt+θ-φ)互相关函数Rxy(τ)TdttytxT000])(sin[)sin(1)cos(200yx互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、频率ω信息，而且还保留了两信号的相位φ信息同频率正弦相关推导(3-21)机械与汽车工程学院25TTxydttytxTR0)()(1lim)(7)两个同频率正余弦函数相关x(t)＝x0Sin(ωt)，y(t)＝y0cos(ωt)TdtttyxT000)(cossin1同频率正余弦相关8）周期信号与随机信号的互相关函数为零由于随机信号y(t+τ)在时间t→t+τ内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(τ)=0。推导(3-22)机械与汽车工程学院26TyxTdttytxT0'')]()][([1limTyxyxTdttytxtxtyT0'''')]()()()([1limTTTyTTxTyxdttytxTdttxTdttyT0''0'0')]()([1lim)]([1lim)]([1lim9）两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则Rxy(τ)=0将随机信号x(t)和y(t)表示为其均值和波动部分之和的形式，即)()('txtxx)()('tytyyTTxydttytxTR0)()(1lim)(yxyxR)(''当μx=μy=0时，Rxy(τ)=0(3-23)机械与汽车工程学院27相关函数的性质（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。（4）两相同周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。（6）随机信号的自相关函数将随的增大快速衰减。机械与汽车工程学院28x(t)测试系统互相关分析仪y(t))(xyR互相关函数Rxy(τ)的工程应用1)确定信号通过一给定系统所需要的时间一个信号x(t)经过测试系统后输出y(t)的时间τ0，这个时间就是由Rxy(τ)的互相关图中峰值的位置来确定互相关函数的性质机械与汽车工程学院292）对复杂信号进行频谱分析利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图x(t)＝x0Sin(ωt+θ)，y(t)＝y0sin(ωt+θ-φ)的互相关函数)cos(2)(00yxRxy0)(xyRx(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ)的互相关函数互相关分析仪正弦信号发生器已知的正弦信号待分析的复杂信号含有与已知正弦信号同频的成分时有输出，不同频时输