几何体的外接球

多面体外接球的半径的求法一、直棱柱与球球与正方体的“切”“接”问题⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝若正方体的棱长为a，则中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。.ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面2R球的内接正方体的对角线等于球直径。⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝若正方体的棱长为a，则a3a2a有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.多面体外接球的半径的求法•方法一：直接法•方法二：构造直角三角形•方法三：补形一、直接法OAO1BA1AC1CO2010年文(7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24a2直接法的使用技巧2222abclabcR设长方体的长、宽、高分别为、、，则,23aRa设正方体的边长为则有变式1：已知长方体1111DCBAABCD的长宽高分别为3,4,5,则该长方体的外接球的表面积等于_________。小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。2010年理设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为二、构造直角三角形2211OBOOOB构造直角三角形使用技巧ROCB22,r,2llRr设柱体的高为底面外接圆的半径为则有任意直棱柱的外接球圆柱的外接球构造直角三角形使用技巧AOO1AOO1圆锥的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为则有正棱椎的外接球[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．【解析】如图．(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆的半径就是球的半径．∵AB＝BC＝a，∴AC＝2a.∵SA＝SC＝AC＝2a，∴△SAC为正三角形．∴R＝23SO＝23×32×2ª＝63a.因此R＝63a.(2)设内切球的半径为r，作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，则有SF＝SB2－BF2＝(2a)2－a22＝72a，S△SBC＝12BC·SF＝12a·72a＝74a2，S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(7＋1)a2.又SE＝SF2－EF2＝72a2－a22＝62a，∴V棱锥＝13Sh＝13a2·62a＝66a3.根据13r·S全＝V棱锥，有r＝3V棱锥S全＝3×66a3(7＋1)a3＝42－612a.构造直角三角形使用技巧22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为则有球心在几何体外部ACBPO               a例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是三、补形法,    DAABCABBCDAABBCOABCDaO变式：已知球的面上四点、、、，则球的体积等,于平面，三、补形法226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以＝ -? aPABC例4：求棱长为的正四面体的外接球的表面积。三、补形法ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的外接球半径法2.补成正方体222222222123322bbcabcR将正四面体放到长方体中，边长为a,b,c,则有：aca ABCDAB=CD=2AC=BD=3AD=BC=1变式：四面体，，，，求其外接球体积三、补形法三、补形法 5P-ABCABCPA=8PB=PC=73AB=3例：已知三棱锥中，三角形为等边三角形，且，，，则其外接球的体积为补形法的使用技巧根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。直接法的使用技巧Rcbalcba2222，则、、分别为设长方体的长、宽、高a,23Ra设正方体的边长为则有构造直角三角形使用技巧ROCB22,r,2llRr设柱体的高为底面外接圆的半径为则有任意直棱柱的外接球圆柱的外接球构造直角三角形使用技巧AOO1AOO1椎体的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为则有补形法的使用技巧根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。