初中数学--三角形专题知识总结与练习答案

专题八三角形一目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。三知识要点：知识点1三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5全等三角形定义、判定、性质知识点6相似三角形三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三角形,相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质知识点7锐角三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα02122231cosα12322210tanα03313不存在cotα不存在31330例1.（1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种情况：①若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。②若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为12。（2）分两种情况：①若顶角为80°，则另两个内角均为底角分别是50°、50°。②若底角为80°，则另两个内角分别是80°、20°。因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2.已知：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上的一点，求证：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD2＋AE2＝DE2。分析：要证⊿ACE≌⊿BCD，已具备AC＝BC，CE＝CD两个条件，还需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD显然能证;要证AD2＋AE2＝DE2，需条件∠DAE＝90°，因为∠BAC＝45°，所以只需证∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得证。证明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，例题精讲_E_D_C_B_A即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD，∴⊿ACE≌⊿BCD。（2）∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2。例3.已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。解：∵BC＝BA，∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。∴DC＝22222313PDPC．∴PA＝DC＝13。【变式】若已知点P是等边⊿ABC内的一点，PA＝13，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度数吗？请试一试。例4.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形．点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．例5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝______．分析：∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°．点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．_A_P_B_D_C例6.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5秒．（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．解析：（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离，在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米由勾股定理得CA＝22225025OAOC＝253（米）在△OBC中，∠BOC＝30°∴BC＝12OB。∴（2BC）2＝BC2＋252∴BC＝2533（米）∴AB＝AC－BC＝253－2533＝5033（米）∴从A到B的速度为5033÷1.5＝10093（米/秒）（2）10093米/秒≈69.3千米/时∵69.3千米/时70千米/时∴该车没有超过限速．点评：此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用．例7.如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图．例8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y．（1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°．又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°．又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴1,1ABBDxECACy即，∴y＝1x．（2）当α、β满足β－2＝90°，y＝1x仍成立．此时∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB．又∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝1x．点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例9.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．（1）证明：∵E是AB中点，∴AB＝2BE，AB＝2CD，∴CD＝EB，又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形，∴CB∥DE，∴DEMBFMEDMFBM，∴△EDM∽△FBM．（2）解：△EDM∽△FBM，∴DMDEBMBF，∴F是BC中点，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3例10.已知△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3且CD＝6。求（1）AB；（2）AC。分析：设AD＝2k，BD＝3k。根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD。通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。解：设AD＝2k，BD＝3k（k0）。∵∠ACB＝90º，CD⊥AB。∴CD2＝AD•BD，∴62＝2k•3k，∴k＝6。∴AB＝65。又∵AC2＝AD•AB，∴AC＝152。例11.已知△ABC中，∠ACB＝90º，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。求证：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH，根据矩形的性质可知EF＝CH，HF＝EC。要证明三角形相似，从条件中得∠FHE＝∠CHB＝90º，由全等三角形可知，∠HEF＝∠HCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明：∵HE⊥BC，HF⊥AC，∴∠CEH＝∠CFH＝90º。又∵∠ACB＝90º，∴四边形CEHF是矩形。∴EF＝CH，HF＝EC，∠FHE＝90º。又∵HE＝EH，∴△HFE≌△EHC。∴∠HEF＝∠HCB。∵∠FHE＝∠CHB＝90º，∴△HEF∽△HBC。说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例12.两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断△EMC是什么样的三角形，并说明理由。分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM＝MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD＝MB＝MA。连结MA后，可以证明△MDE≌△MAC。答：△EMC是等腰直角三角形。证明：连接AM，由题意得，DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC