初中数学复习提纲(适合北师大版)

第1页共16页初中数学总复习提纲第一章实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1．数的分类及概念举例：，2，3等都是无理数。说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。3．倒数：①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.②性质：A.a≠a1（a≠±1）;B.a1中，a≠0;C.0＜a＜1时a1＞1;a＞1时，a1＜1;D.积为1。4．相反数：①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.②求相反数的公式:a的相反数为-a.③性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。5．数轴：①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数如:0负整数(有限或无限循环小数)整数分数正无理数负无理数0实数正数│a│2aa(a≥0)(a为一切实数)负数第2页共16页7．绝对值：①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。)0()0(0)0(aaaaaa几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。11．科学记数法：N=na10（1≤a＜10，n是整数）。（1）当N是大于1的数时，n＝N的整数位数减去1。如：33241.563.2415610.(2)当N是小于1的数时，n＝N的第一个有效数字前0的个数.如:50.00003241563.241561012、有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.13、数的开方：求一个数的平方根叫做平方，求一个数的立方根叫做开立方。二、实数的运算1、运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2、运算定律（五个:加法交换律,加法结合律;乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律）3、运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右（如5÷51×5），有括号时由小中大。4、逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。二、应用举例（略）附：典型例题1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。平方根算术平方根立方根三种表示形式±aa3aa的取值范围0a0a全体实数例子±4=±2-4=-24=238=-2axb第3页共16页第二章代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式、有理式、无理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。有根号的代数式叫无理式，如：a、22ab。没有根号的代数式叫有理式。如：a、22ab。2.整式和分式分母中含有字母的代数式叫做分式。如：1a、3ba。分母中不含有字母的代数式叫做整式。整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。3.单项式与多项式数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：23abc，213abc。单独的一个数或字母也是单项式。如：a、0、-3。几个单项式的和或差，叫做多项式。说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后．．．．．的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，xx2=x,2x=│x│等。4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看如：单项式cba3231的系数是31指数是5；多项式ts32是一次二项式；1aba是二次三项式等。5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式，是无理数。7.各种方根的概念（1）平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:2,aaa叫的平方根记作（2）算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：a单项式多项式整式分式式式样有理式无理式代数式第4页共16页⑴正数a的正的平方根（a[a≥0—与“平方根”的区别]）;⑵算术平方根与绝对值①联系：都是非负数，2a=│a│②区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。（3）立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：33,aaa叫的立方根记作8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号化去叫做分母有理化。如aaaaaa1；2))((1babababababa9.指数(na—幂，乘方运算)⑴①a＞0时，na＞0;②a＜0时，na＞0（n是偶数），na＜0（n是奇数）⑵零指数公式：0a=1（a≠0）负整指数公式：1(0,)ppaapa是正整数二、运算定律、性质、法则1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质⑴基本性质：ab=ambm（m≠0）⑵符号法则：ababab⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）3．整式运算法则（去括号、添括号法则）4．幂的运算性质：①同底数幂相乘：ma·na=nma;②同底数幂相除：ma÷na=nma;③幂的乘方：nma)(=mna;④积的乘方：nab)(=nanb;⑤分式乘方：nnnbaba)(（注意：凡是公式都可以倒用）a·a…a=nan个第5页共16页技巧：ppbaab)()(5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。6．乘法公式：2222)(bababa（a+b）（a-b）=22ba（注意：凡是公式都可以倒用）公式的几何意义如右图所示。7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;9．算术根的性质：2a＝a;)0()(2aaa;baab(a≥0,b≥0);baba(a≥0,b＞0)（注意：凡是公式都可以倒用）10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.a1;B.aabab;C.))((1babababa=baba2.第三章方程（组）★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）☆内容提要☆一、基本概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2、分类：一、二.解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc(c≠0)三.解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。2．二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法四.一元二次方程1．定义及一般形式：)0(02acbxax如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式?答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.2．解法：⑴直接开方法（2）配方法（注意步骤和推导求根公式）二次方程一次方程高次方程整式方程分式方程有理方程无理方程方程第6页共16页(3)公式法：)04(24222,1acbaacbbx(4)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二次方程的标准形式。3．根的判别式：acb42当acb42＞0时,一元二次方程)0(02acbxax有两个不相等的实数根.反之亦然.当acb42=0时,一元二次方程)0(02acbxax有两个相等的实数根.反之亦然.当acb42＜0时,一元二次方程)0(02acbxax没有的实数根.反之亦然.4．根与系数顶的关系：acxxabxx2121,逆定理：若nxxmxx2121,，则以21,xx为根的一元二次方程是：02nmxx。5．常用等式：2122122212)(xxxxxx212212214)()(xxxxxx五、分式方程1．分式方程⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：121232xx⑵基本思想：如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，7222163xxxx）⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验六、无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，221792xx）⑷验根及方法七、一元一次不等式（组）★重点★一元一次不等式的性质、解法1．定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。2．一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。3．一元一次不等式组：去分母分式方程整式方程乘方无理方程有理方程第7页共16页4．不等式的性质：⑴ab←→a+cb+c⑵ab←→acbc(c0)⑶ab←→acbc(c0)⑷（传递性）ab,bc→ac⑸ab,cd→a+cb+d.5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）例题：不等式组xxxx14214)2(3解：解不等式（1）得x1解不等式（2）得x23所以不等式组的解集是1x237．应用举例（归纳起来主要有下列问题）（1）题目中含有明显的特征词“不少于、不超过、不大于、小于、大于等”；（2）“不空也不满”问题；（3）哪个旅行社更优惠问题；（4）方案问题。例题：（1）一个长方形足球场的长为xcm，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.解：依题意得75607070)70(2xx(2)一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房间住，每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少名学生？解：设有x间宿舍，依题意得6)1(61940xx解得，9．5x12．5因为x是正整数所以x=10、11、12当x=12时，4x+19=67；……答：略（3）在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不小于60分，至少要答对多少道题目？解：设至少要答对x道题目，依题意得4x-2(25-x)60（4）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游人数估计人数在10~25人，甲乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给每位旅