反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一.探求同一坐标系下的图象例1.已知函数mxy与xny在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（）A.0n,0mB.0n,0mC.0n,0mD.0n,0m分析：由图知，一次函数mxy中，y随x的增大而增大，所以0m；反比例函数xny在第二、四象限，所以0n。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2.在同一直角坐标系中，函数kkxy与)0k(xky的图象大致是（）A.B.C.D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，0k即0k，则一次函数kkxy图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，0k即0k，则反比例函数)0k(xky图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二.探求函数解析式例3.如图3，直线bxky1与双曲线xky2只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析：因为双曲线xky2过点A（1，2），所以2k,1k222得双曲线的解析式为x2y。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为bxky1过点A（1，2）和B（2，0），所以0bk22bk11解得4b2k1所以直线的解析式为4x2y评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，2OD2OB，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三.探求三角形面积例4.如图4，反比例函数x4y的图象与直线x31y的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（）A.8B.6C.4D.2解析：把x4y代入x31y，得x31x4整理得12x2解得32x,32x21把32x,32x21分别代入x4y，得332y,332y21所以点A的坐标为)332,32(点B的坐标为)332,32(由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（332,32）。因为334332332AC，343232BC所以ABC的面积为83433421BCAC21故应选A。例5.如图5，已知点A是一次函数xy的图象与反比例函数x2y的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为（）A.2B.22C.2D.22析解：把xy代入x2y，得x2x，整理得2x2，解得2x,2x21得2x,2x21分别代入xy得2y,2y21又点A在第一象限内，所以点A的坐标为)2,2(在AOC中2OC,2AC由勾股定理，得,2OA所以OB=2。所以AOB的面积为22221ACOB21，故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四.探求点的坐标例6.如图6，直线1x21y分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线xky在第一象限内的交点，xPB轴，垂足为点B，APB的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。析解：在1x21y中，令0x，则1y；令0y，则2x。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线1x21y上，不妨设点P的坐标为)1m21,m(所以1m21PB,2mAB。又因为4PBAB21SAPB所以4)1m21)(2m(21整理得012m4m2即0)6m)(2m(解得6m,2m21因为点P在第一象限，所以2m。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例6已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数y＝25mnx的图象都经过点(1，－2)．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标．解析：(1)∵两函数图象都过点(1，－2)，∴＋＝－，＋＝－．解之，得＝，＝－．m3n22m5n2m4n2∴一次函数的解析式为y＝4x－6，反比例函数的解析式为＝－．y2x(2)根据题意，列出方程组y4x6y＝－，＝－．2x解之，得＝，＝－，＝，＝－．x1y2xy412∴两函数图象的另一个交点为，－．(124)评注：一次函数＝＋与反比例函数＝的图象都经过点ymx3ny25mnx(1，－2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解．(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？(1)yx6y根据题意，得＝－＋，＝．kx消去y，得x2－6x＋k＝0．∵Δ＝36－4k＞0，∴k＜9．当k＜9且k≠0时，方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的非零实数解．∴k＜9且k≠0时，两函数图象有两个公共点．(2)∵y＝－x＋6的图象过第一，二，四象限，∴0＜k＜9时，双曲线两支分别在第一、三象限．由此知两公共点A，B在第一象限，此时∠AOB是锐角．k＜0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角．(1)求m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt△OEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式；(3)yBBKxK(2)在双曲线＝上另取一点作⊥轴于；将中的直线3xl绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴相交于点C，且＝．试问在轴上是否存在点，使得＝，△△OCOFyPSSPCABOK14若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由．例已知，是直线与双曲线＝的交点．8A(m2)ly3x例已知一次函数＝－＋和反比例函数＝≠．7yx6y(k0)kx∴＝，即＝．332m2m∴点坐标为，．A(322)(2)作AM⊥x轴于M．∵A点是Rt△OEF的外心，∴EA＝FA．由AM∥y轴有OM＝ME．∴OF＝2OM．∵MA＝2，∴OF＝4．∴F点的坐标为(0，4)．设l：y＝kx＋b，则有3243kb2b4kb4＋＝，＝．∴＝－，＝．∴直线的解析式为＝－＋．lyx443(3)OCOFOC1∵＝，∴＝．14∴C点坐标为(0，1)．设B点坐标为(x1，y1，)，则x1y1＝3．∴＝·＝．△S|x||y|BOK111232设P点坐标为(0，y)，满足S△PCA＝S△BOK．①当点P在C点上方时，y＞1，有S(y1)(y1)PCA△＝－×＝－＝．12323432∴y＝3．②当点P在C点下方时，y＜1，有S(1y)PCA△＝－＝．1232∴y＝－2．综上知，在y轴存在点P(0，3)与(0，－2)，使得S△PAC＝S△BOK．评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟解析：∵直线与双曲线＝的一个交点为，，yA(m2)l3x一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式．(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定．上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC，OD．(1)yOCy11求证：＜＜＋；my1(2)BOCAODtanOCCD若∠＝∠＝α，α＝，＝，求直线的解1310析式．证明：(1)如图13－33过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1．∵点，在双曲线＝上，C(xy)y11mx∴＝．x1my1∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG＋OG，∴＜＜＋．yOCy11my1例如图－，已知，是双曲线＝在第一象限内的分支91332CDymx解(2)：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α，tany3x11α＝＝，即＝，＝．OGCGxy131311∵＝＋，＝，OCOGCGOC22210∴＝＋，即＝＋．10xy10x(3x)12121212解之，得x1＝±1．∵负值不合题意，∴x1＝1，y1＝3．∴点C的坐标为(1，3)，∵点在双曲线＝上，Cymx∴＝，即＝．3m3m1所以，双曲线的解析式为＝．y3x过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH＝y2，OH＝x2．在△中，α＝＝＝，即＝．RtODHtanx3y22DHOHyx2213又＝，则＝，y3y322232x解之得y2＝±1．∵负值不合题意，∴y2＝1，x2＝3．∴点D的坐标为(3，1)．设直线CD的解析式为y＝kx＋b．则有＝＋，＝＋解得＝－，＝．3kb13kbk1b4∴直线CD的解析式为y＝－x＋4．