实数指数幂及其运算

①同底数幂相乘，底数不变，指数，即②同底数幂相除，底数不变，指数，即③幂的乘方，底数不变，指数，即④积的乘方，等于各因式幂的积，即：幂aaaan......底数指数n个a(1)幂的概念:(2)幂的运算法则:相加相减相乘nmnmaaanmnmaaamnnmaa)(mmmbaba)(),0(*，，、nmNnma在运算法则②中，若去掉mn会怎样？3333aaa0a5353aaa2a121annaaa110）（0a），（Nna0将正整数指数幂推广到整数指数幂m=nmn0a？练习:0808）（0）（ba310621）（32）（x223）（rx0001.0cba22111001.010136)21(1646411332x381x46rx644611xrrx410122cba22=4(-2)2=4回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根.②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a的立方根.2,-2叫4的平方根.2叫8的立方根.-2叫-8的立方根.23=8(-2)3=-824=16(-2)4=162,-2叫16的4次方根;2叫32的5次方根;2叫a的n次方根;x叫a的n次方根.xn=a2n=a25=32…………………………………………通过类比方法，可得n次方根的定义.1.方根的定义如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.24=16(-2)4=1616的4次方根是±2.(-2)5=-32-32的5次方根是-2.2是128的7次方根.27=128即如果一个数的n次方等于a(n1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根.【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(1)25的平方根是_______;(2)27的三次方根是_____;(3)-32的五次方根是____;(4)16的四次方根是_____;(5)a6的三次方根是_____;(6)0的七次方根是______.点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a.±53-2±20a223=8(-2)3=-8(-2)5=-3227=1288的3次方根是2.-8的3次方根是-2.-32的5次方根是-2.128的7次方根是2.奇次方根1.正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数.nana的次方根(奇用符号次)表示.382.记作：382.记作：5322.记作：71282.记作：72=49(-7)2=4934=81(-3)4=8149的2次方根是7，-7.81的4次方根是3，-3.偶次方根2.负数的偶次方根没有意义1.正数的偶次方根有两个且互为相反数记作：497记作：4813(nanan正数的次方根用符号表示为偶数）26=64(-2)6=6464的6次方根是2，-2.记作：6642.正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：,21,N,,0,2,N.nnankkxnaakk那么如果,axn(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.na根指数根式被开方数由xn=a可知，x叫做a的n次方根.233(9)____,(8)____.9-8当n是奇数时,对任意a∊R都有意义.它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根.()nnaana当n是偶数时,只有当a≥0有意义,当a0时无意义.na(0)naa≥(0)naa≥()nnaa表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是.nnaa553322,22.(1)（）（）444444(3)22,,(2)222.(2)22233,(3)3.(3)3,式子对任意a∊R都有意义.nna结论:an开奇次方根,则有||.nnaa结论:an开偶次方根,则有.nnaa公式1.适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.公式2.适用范围:n为大于1的奇数,a∈R.公式3.适用范围:n为大于1的偶数,a∈R..nnaa||.nnaa44(3)(3);2(2)(10);2(4)()().abab33(8);（1）24423343310281ba解：=-8;=10;|3||10|||ab.abab3;例1.求下列各式的值4162①55(3)3②55(3)3③44(3)3⑤105(3)3④①④【1】下列各式中,不正确的序号是().532;⑴43;⑵（）526.⑷55532(2)2;⑴4223399;2⑵（）[()]2(3)23|23|32;（）223;⑶（）2()5262332.（）4解:【2】求下列各式的值.⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：nmnmaa(a0,m,n∈N*,且n1)注意：底数a0这个条件不可少.若无此条件会引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：=-1；=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.3311)1(662621)1()1(用语言叙述：正数的次幂(m,n∈N*,且n1)等于这个正数的m次幂的n次算术根.nm⒉负分数指数幂的意义回忆负整数指数幂的意义：a－n=(a≠0,n∈N*).na1正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：(a0,m,n∈N*,且n1).nmnmnmaaa11规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上.⒋有理指数幂的运算性质我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数.上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：⑴ar·as=ar+s(a0,r,s∈Q)；⑵(ar)s=ars(a0,r,s∈Q)；⑶(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).说明：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.即当指数的范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然是下述的3条.34132633252533333888）④（③②①ba8852534282231）（933333326131211613121432341332baba）（）（练习2212121212121）⑥（））（⑤（bababababa221221）（）（21212baba思考2:我们知道＝1．41421356…,那么的大小如何确定？我们又应如何理解它呢？2522252思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？的过剩近似值的过剩近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752225252的不足近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562例1.求值：526743642.解：222(32)(23)(22)原式|32||23||22|)22()32()23(22322322.例2．如果化简代数式24412|2|.xxx22520,xx解：22520,xx解之，得12.2x所以210,20.xx24412|2|xxx2(21)2|2|xx|212|2||xx2[((2))]21xx2214xx3.22520,xx平方差公式:完全平方式:立方和公式:立方差公式:和的立方公式：差的立方公式：22222222332233223322333223()()()2()2()()()()()33()33ababababaabbabaabbababaabbababaabbabaababbabaababb整理巩固要求：整理巩固探究问题落实基础知识