非自治旋转机械系统自同步与异结构同步的研究

*基金项目：国家自然科学基金项目(50475109),甘肃省自然科学基金项目(3ZS-051-A25-030,3ZS-042-B25-049),作者简介：张建刚(1978－),男,甘肃庆阳人,博士研究生.主要从事非线性系统建模和非线性动力学研究.E-mail:[e-mail]1**通讯作者:褚衍东(1958－),男,山东省微山人,教授.主要从事非线性动力学研究.E-mail:[e-mail]非自治旋转机械系统自同步与异结构同步的研究*张建刚，褚衍东**，俞建宁，李险峰，杨丽新（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州730070）摘要:研究一类非自治旋转机械系统的复杂动力学行为。通过系统运动的拉格朗日方程和牛顿第二定律，建立了机械式离心调速器系统的动力学方程。通过系统的分岔图和Lyapunov指数研究系统的混沌行为，通过仿真Poincaré截面分析系统通向混沌的道路,并且验证该系统的分岔图与Lyapunov指数谱是完全吻合的。基于Lyapunov稳定性理论，采用非线性控制方法进行一类不同阶非自治混沌系统之间的同步控制的研究。通过构造合适的控制函数，成功地实现两个不同阶混沌系统之间的同步控制，并用数值仿真进一步证明该方法的有效性。关键词:调速器Lyapunov指数混沌异结构混沌同步Poincaré截面中图分类号:O322TB535文献标识码:A1引言自从1963年，Lorenz在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子后[1]，人们发现混沌现象在大自然里无处不见。但由于混沌系统的不可预测性和初值敏感性，人们往往认为混沌现象不可控，但在1989年，Hulber发表了关于混沌控制的第一篇文章[2]。1990年，Ott等采用OGY法控制混沌系统[3]。同一年，美国海军实验室的Pecora和Carroll提出PC法[4]，使两个具有不同初值的同结构混沌系统得以同步。之后的十几年来，混沌系统受到各领域科研工作者的广泛关注，从而许多新的同步方法被提出，如PC法[4]、耦合同步法[5]、自适应控制法[6]、脉冲控制法[7]、主动控制法[8]等。但至今的大多数方法是基于结构相同的混沌系统的同步而提出的。实际应用中，几乎不会存在驱动系统和控制系统是相同结构的情况，且系统的参数不可避免地会受到外界天然噪声的影响，因此研究不同结构的混沌系统的同步更加有意义。Hsien-KengChen[9]采用主动控制法实现一种新的混沌系统分别同Lorenz，Chen和Lü系统之间的同步；Park[10]采用非线性控制定律实现Genesio系统和Rössler系统之间的异构同步；刘崇新[11]等实现了一种单涡旋混沌系统与Chen系统之间的同步控制。文献[12]研究了一类机械式离心调速器系统的周期运动及其通向混沌的演化过程，通过反馈方法对该系统进行混沌控制。禇衍东等[13,14]研究了一类旋转机械系统的动力学行为，通过三种不同的非线性控制器实现了两个非自治混沌系统的同步。在本文中，采用非线性控制方法，进行一个二阶连续非自治Duffing系统与一类三阶连续非自治旋转机械系统之间的同步控制，通过构造合适的控制函数，成功地实现了两个不同阶非自治混沌系统之间的同步控制。用李雅普诺夫函数法证明了该控制方法的有效性，并给出理论分析和数值仿真。2离心调速器系统的力学模型图1为机械式离心调速器系统，发动机带动飞轮以角速度ω转动，飞轮通过齿轮箱与轴联结，轴旋转角速度为ωn，轴端铰接两个长度为l的杆：杆1和杆2，杆1和杆2的另外一端再连接两个质量为m的图1机械式离心调速器系统的力学模型刚性球，然后通过另外两个杆：杆3和杆4与一套筒相连。轴上套有一刚度系数为k的弹簧，弹簧一端顶在套筒的端面上。离心调速器可以调节蒸汽机的蒸汽流量Q(或内燃机的燃油流量)，使飞轮以恒定转速0ω2转动。当00≠−=Δωωω时，杆将上下移动，φ为控制变量。对系统进行分析，先做以下基本假设：1)忽略杆和套管的质量；2)假设杆轴头与刚性球连接处的粘性摩擦系数为c。由图l可写出系统的动能和势能为22222222)sin()(]})()sin[(21{2φφωφωφmllnmlnlmT+=+×=(1))cos1(2)cos1(222φφ−+−=mglklV(2)由式（1）和式（2）可以写出系统的拉格朗日函数L为)cos1(2)cos1(2)sin()(222222φφφφω−−−−+=−=mglklmllnmVTL(3)根据拉格朗日方程可以写出系统的运动方程为φφφφφφωφcmglklnmlml−=+−×+−sin2sin)cos1(4cossin)(222222(4)其中，c为粘性摩擦系数。对于旋转机器，其输入转矩与负载转矩不同，根据牛顿第二定律有PPtI−=1ddω(5)其中，I为飞轮的转动惯量，1P为由于蒸汽或燃油作用产生的力矩；P为载荷作用产生的力矩。当φ改变时，燃油的控制量也相应的进行改变。在给定的转速0ω下，设1P为1P，当ω改变时，有)cos(cos011φφα−+=PP(6)式中：0φ为对应于0ω时的角度，α为比例系数。将式（6）代入式（5）中，得：FI−=φαωcos(7)式中：10)cos(PPF−+=φα。联立式（4）和式（7）可得到系统的动力学方程为⎪⎩⎪⎨⎧−=−+−+=FImlcmlmgklmknφαωφφφφφφωφcos2sin2cossin2cossin222(8)令φ=x，φ=y，ω=z，将方程（8）可写成三维自治系统的标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−+−+==IFxzbyxlgexxzneyyx)cos(sin)(cossin)(22α(9)式中,mke2=，22mlcb=.3局部动力学行为分析在上述机械式离心调速器系统的动力学方程建立中，我们假设施加在系统上的外部作用力为10)cos(PPF−+=φα，即施加一个非周期力，这有利于系统初始状态的研究，但一般的调速器中所施加的外部作用力为tIaPPFωφαsin)cos(10+−+=。将该作用力施加在方程（9）后，可化为三维非自治方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−+−+==taIFxzbyxlgexxzneyyxωαsin)cos(sin)/(cossin)(22(10)选取系统参数Ⅰ：0.3=n,5.1=l,8.0=a,0.1=ω,4.0=b,3.0=F,2.1=I,3.0=e,8.9=g，系统参数α为分岔参数，采用四阶Runge-Kutta算法对系统(10)进行数值仿真，步长根据控制目标进行调整，系统(10)的分岔图，如图2(a)所示。由图2(a)可以看出，当分岔参数α递增的时候，系统呈现出复杂3的动力学行为。系统的Lyapunov指数，如图2(b)所示，与系统的分岔图(图2(a))完全吻合。图3给出了系统(10)分岔过程中相应的Poincaré映射图。由图3可以看出，当系统的分岔参数617.0=α时，系统呈现出两个稳定的焦点，当系统的分岔参数616.0=α时，系统经历了第一次Hopf分岔。随着分岔参数进一步减小，系统的吸引不变圈开始膨胀直至变形，随着分岔参数继续减小，系统开始失稳锁相到高周期吸引子上，最终通向混沌。选取另一组系统参数Ⅱ：0.3=n,5.0=l,8.0=a,0.1=ω,4.0=b,35.0=F,2.1=I,3.0=e,8.9=g系统(10)的分岔图，如图4所示。李雅普诺夫指数能够刻划初态敏感性，表示相空间内邻近轨迹的平均指数发散率的数值特征。李雅普诺夫指数的符号和李雅普诺夫维数[15]能够对一个动力学系统进行定性分析，其中，0λ(混沌运动)，0≤λ(周期运动)。功率谱对频率的对数谱能刻画混沌运动的随机性，且混沌运动的功率谱对频率的对数谱为连续谱。机械式离心调速器系统(10)在系统参数Ⅱ时的李雅普诺夫指数如图5(a)所示，李雅普诺夫维数如图5(b)所示。由图4可以清楚的观察到系统的混沌运动和周期运动，系统的混沌运动出现在regionsⅠ,regionsⅡ,regionsⅣ,regionsⅥ,regionsⅦ.系统的周期4运动出现在regionIII，周期2运动出现在regionⅤ,regionⅦ,regionⅨ.图6给出了分岔参数4.0=α相对应Poincaré截面和功率谱对频率的对数图，其中xp[16]是x的复的Fourier变换模的平方。图2机械式离心调速器系统的分岔图和Lyapunov指数(a)617.0=α(b)616.0=α(c)614.0=α(d)613.0=α(e)612.0=α(f)611.0=α图3机械式离心调速器系统的Poincaré截面:(a)稳定的焦点;(b)吸引不变圈;(c)膨胀的吸引不变圈;(d)变形的吸引不变圈;(e)锁相;(f)混沌;4图4机械式离心调速器系统的分岔图图5机械式离心调速器系统的分岔图和Lyapunov指数图6分岔参数4.0=α相对应Poincaré截面和功率谱对频率的对数图4混沌同步4.1追踪控制同步考虑混沌系统由以下状态方程描述),(xtfx=(11)其中nRx∈，nnRRRf→×+:，选择其中一个状态变量为输出信号，不妨取)(1tx，通过适当的控制器)(tu加在式(11)上，使得)(1tx追踪参考信号)(tr，此时式(11)变形为)(),(tuxtfx+=(12)则追踪误差为)()()(1trtxte−=(13)误差系统为)()()(1trtxte−=(14)追踪控制要求为0)(lim=→∞tet(15)定理：对于受控系统式(12)，如果控制器满足51111111uuftffxfxrrruxf−−−∂∂−⋅∂∂−−++=⋅∂∂(16)则误差系统式(14)零解渐近稳定，从而)(1tx追踪上了参考信号)(tr。驱动系统为机械式离心调速器系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−+−+==taIFxxbxxlgexxxnexxxωαsin/)cos(sin)(cossin)(132111232221(17)追踪控制即设计一个控制器U，使控制系统的输出信号)(ty追踪给定的参考信号)(tx，既满足0)(lim=∞→tet。式中，)()()(txtyte−=为追踪误差。控制系统为⎪⎩⎪⎨⎧+−−=+−+−+=+=313221112322121sin/)cos(sin)/(cossin)(utaIFyyubyylgeyyyneyuyyωα(18)因此可得误差系统为⎪⎩⎪⎨⎧+−=+−+−+++−+=+−=311322211112321123221221/)cos(/)cos()()sin)(sin/(cossin)(cossin)(uIxIyeuyxbyxlgexxxneyyyneeuxyeαα(19)设计控制器如下⎪⎩⎪⎨⎧−−=−+−+++−+=−−=311321111232112322211/)cos(cos)1()sin)(sin/(cossin)(cossin)(eIyxuebxylgeyyynexxxneueeuα(20)引理1：对于被控系统（17），如果控制器满足式（20），则控制系统的状态变量)(ty将按指数速率追踪上驱动系统的状态变量)(tx。证明：取Lyapuov函数eetVT)(=，则:)(22)(2)(2)(2))((2))((2))((2)(T233222211333322221111TTtVeeyxyxyxyxyxyxyxyxyxeeeetV−=−=−−−−−−=−−+−−+−−=+=故teVtV2)0()(−=，因而teVtVte22)0()()(−=≤，即状态变量)(ty按指数速率收敛追踪参考信号)(tx。采用四阶Runge-Kutta算法对驱动系统(17)和控制系统(18)进行数值仿真，取步长为0.001，驱动系统(17)在系统参数Ⅱ：0.3=n,5.0=l,8.0=a,0.1=ω,4.0=b,35.0=F,2.1=I,3.0=e,8.9=g,4.0=α时具有典型的混沌行为。驱动系统(17)和控制系统(18)的初值分别