牛顿插值MATLAB算法

MATLAB程序设计期中作业——编程实现牛顿插值成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。插值法是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。二：算法分析newton插值多项式的表达式如下：010011()()()()()nnnNxccxxcxxxxxx其中每一项的系数ci的表达式如下：12011010[,,,][,,,][,,,]iiiiifxxxfxxxcfxxxxx即为f(x)在点01,,,ixxx处的i阶差商，（()iifxfx，1,2,,in），由差商01[,,,]ifxxx的性质可知：01001[,,,]()iiijjkjkkjfxxxfxxx牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算001012012,,,,,,,nfxfxxfxxxfxxxx、、、、。第二步：计算牛顿插值多项式中01[,,,]ifxxx011()()()ixxxxxx，1,2,,in，得到n个多项式。第三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。第四步：利用所得到的插值多项式，估算x取其它值时fx的值。第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。三：编程实现function[p2,z]=newTon(x,y,t)%输入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。n=length(x);chaS(1)=y(1);fori=2:nx1=x;y1=y;x1(i+1:n)=[];y1(i+1:n)=[];n1=length(x1);s1=0;forj=1:n1t1=1;fork=1:n1ifk==jcontinue;elset1=t1*(x1(j)-x1(k));endends1=s1+y1(j)/t1;endchaS(i)=s1;endb(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)];cl=cell(1,n-1);fori=2:nu1=1;forj=1:i-1u1=conv(u1,[1-x(j)]);cl{i-1}=u1;endcl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];endp2=b(1,:);forj=2:np2=p2+b(j,:);endiflength(t)==1rm=0;fori=1:nrm=rm+p2(i)*t^(n-i);endz=rm;elsek1=length(t);rm=zeros(1,k1);forj=1:k1fori=1:nrm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);endz=rm;endendplot(t,z,'y',x,y,'*r')四：实例验证clcclearx=[0.40.550.650.800.901.05];y=[0.410750.578150.696750.888111.026521.25386];t=0.4:0.1:1.05;[u,v]=newTon(x,y,t)执行结果：u=0.00850.00320.15870.00730.99710.0004v=0.41080.52110.63670.75860.88811.02651.17521.33561.5095则所求得的牛顿多项式为：5432()0.00850.00320.15870.00730.99710.0004fxxxxxx牛顿多项式的函数图像及已知节点在坐标中的显示如下：0.40.50.60.70.80.911.11.21.30.40.60.811.21.41.61.8x轴y轴插值节点插值函数五：结果分析本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。然而程序在实现过程中，依旧存在着一些不足之处，总体反应在灵活性方面，参数的输入必须为三个，否则程序会出错，有时候我们仅需要得到牛顿多项式，而不需要去估算某个具体的x对应的函数值。另外，本程序的函数在实现过程中会给出多项式函数的函数图像，没有设置参数对其判断是否需要。因此，这些都是有待改进的地方。