知识讲解-三角恒等变换综合-基础

三角恒等变换综合【学习目标】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin()=①；cos()②；tan()③；要点诠释：1．公式的适用条件(定义域)：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中,，且Rk(kZ)2、、2．正向用公式①、②，能把和差角()的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()的正切值化简．要点二：二倍角公式1.在两角和的三角函数公式中，当TCS,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,SCT：sin22()S；cos22()C；简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式2C2T2SCCSSTTtan22()T．要点诠释：1．在公式22,SC中，角α没有限制，但公式2Tα中，只有当)(224Zkkk和时才成立；2.余弦的二倍角公式有三种：22sincos2cos＝1cos22＝2sin21；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．3.二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24是的二倍，332是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．要点三：二倍角公式的推论升幂公式：21cos22cos，21cos22sin降幂公式：2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2.要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．【典型例题】类型一：正用公式例1．已知2313sin,,,cos,,23232．（1）求sin2的值；（2）求cos的值．【思路点拨】（1）由题意知，5cos3，然后利用二倍角公式求得sin2的值．（2）求得22sin9，然后利用两角差的余弦公式可求解．【答案】（1）459（2）4259【解析】（1）23sin,,,32得5cos3，2545sin22sincos2339（2）13cos,,2,32得22sin3coscoscossinsin=512223333=4259举一反三：【变式1】求值：sin15=；sin75=；cos75=【答案】624624624【解析】62sin15sin(6045)sin60cos45cos60sin454，62sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin454，62cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin454.【变式2】已知tan和tan是方程2260xx的两个根，求tan()的值.【答案】18【解析】由韦达定理，得21tantan，3tantan，∴81tantan1tantan)tan(.例2．已知2π＜β＜α＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值．【思路点拨】因为2()()，分别求出和的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可求解．【答案】5665－【解析】∵432π＜β＜α＜π，∴π＜α＋β＜23π，0＜α－β＜4π∵sin(α＋β)＝－53，cos(α－β)＝1312，∴cos(α＋β)＝－54，sin(α－β)＝135∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝6556－．【总结升华】（1）解题中应用了2()()式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),2()(),2()等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】（2017江苏海陵区月考）已知4313sin,cos()714，且02．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【思路点拨】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用二倍角的正切函数公式可求tna2α的值．（2）由已知可求范围02，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β－α）的值，由β=（β－α）+α，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【答案】（1）8347；（2）12【解析】（1）∵43sin7，且02．∴21sincos1sin,tan437cos，∴22tan83tan21tan47．（2）∵13cos()14，且02．∴02，可得：233sin()1cos()14，∴13133431coscos()]cos()cossin()sin()1471472【变式2】已知4cos()cos2.125212，且，求（＋）的值【答案】31250【解析】角的关系式：4)12(2122（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252，且，∴53)12sin(∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin2571)12(cos2)12(2cos2∴]4)12(2cos[.122cos）＋（＝)]12(2sin)12(2[cos222724312()2252550类型二：逆用公式例3.求值：（1）sin24cos36cos24cos54；（2）13cossin212212；（3）001tan751tan75；【思路点拨】题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．（1）若将式中的cos54改写为sin36则恰为两角和的正弦；（2）中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式；（3）利用tan451将1tan15视为tan45tan15,将1tan15视为1tan45tan15，则式子恰为两角和的正切.【答案】（1）32（2）22（3）3【解析】（1）原式=3sin24cos36cos24sin36sin(2436)2；（2）原式=2sin30cos15cos30sin15sin(3015)2；（3）原式0000000tan45tan75tan(4575)tan12031tan45tan75．【总结升华】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．②辅助角公式：22sincossin()abab，其中角在公式变形过程中自然确定.举一反三：【变式1】求值：（1）sin164sin224sin254sin314；（2）0000sin20cos110cos160sin70；（3）sin347cos148sin77cos58【答案】（1）1/2（2）－1（3）1/2【解析】（1）原式1sin16sin44cos16cos44cos(1644)2；（2）原式=000000sin20cos70cos20sin70sin(2070)1；（3）原式＝2cos77sin58sin77cos58sin7758sin1352【变式2】下列各式中，值为12的是（）A.cos15sin15B.22cos112C.1cos302D.2tan22.51tan22.5【答案】D；【解析】11cos15sin15sin3024；232cos1cos1262；1cos30cos152；22tan22.512tan22.511tan451tan22.521tan22.522.例4.求值：（1）cos36cos72；（2）73cos72cos7cos【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．【答案】（1）1/4（2）1/8【解析】（1）原式=000000000sin36cos36cos721sin72cos721sin1441sin362sin364sin364；（2）原式=74cos72cos7cos)74cos(72cos7cos24sincoscoscos7777sin7224sincoscos7772sin78sin7...8sin718【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．举一反三：【变式】求值：cos20cos40cos80【答案】18【解析】原式=2sin20cos20cos40cos802sin20=000000020sin880cos80sin220sin2280cos40cos40sin2=8120sin8160sin00．类型三：变用公式例5．求值：（1）0000tan