第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

周六自主招生培训讲座1第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()fx的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有1212()()()22xxfxfxf①则称()fx为(a，b)上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()fx为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）②下凸函数的几何意义：过()yfx曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．③()fx的二阶导数''()0fx，则()fx为下凸函数；()fx的二阶导数''()0fx，则()fx为上凸函数。常见的上凸（凹）函数，0=sin,=cos,=lnsin,=lncos2yxyxyxyx，上，常见的（下）凸函数，2310+=,=,=,=nnyxyxyxyx，上，二、琴生不等式性质：若)(xf在区间I为下凸函数，则对Ixxxn,,,21，总有nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121；当且仅当12nxxx时取到等号。若)(xf在区间I为上凸函数，则对Ixxxn,,,21，总有nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121。当且仅当12nxxx时取到等号。三、加权形式：[phone]R+++=1(),(++)+++;nnnnnnaaaaaafxabfaxaxaxafxafxafx对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[phone]R+++=1(),(++)+++.nnnnnnaaaaaafxabfaxaxaxafxafxafx对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有周六自主招生培训讲座2附：应用21)(xxf，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式221322221)(111nnaaanaaa，等号成立条件naaa21。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的222212221)111(nnaaanaaa，等号成立条件naaa21。常用不等式：121212121212++++++(t1);++++++(0t1);+++ttttnnttttnnnnnxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxn例1证明：(1)()sinfxx在[0)，上是上凸函数(2)()lggxx在(0)，上是上凸函数(3)()tan)2hxx在[0，上是下凸函数证明：(1)对12[0)xx，，121212121212()()1(sinsin)sincossin()222222fxfxxxxxxxxxxxf(2)对12[0)xx，，+121212lglglglg22xxxxxx即：1212()()()22gxgxxxg．(3)当1202xx，时1212121212121212sinsinsin()2sin()tantancoscoscoscoscos()cos()xxxxxxxxxxxxxxxx1212122sin()2tancos()12xxxxxx（∵sintan1cos2）周六自主招生培训讲座3即：1212()()()22hxhxxxh．例2设ABC、、是锐角ABC的三个内角，求证：3coscoscos;2ABC例3abcR，，，且a+b+c=3，求证：8181819abc．证明：设()81fxx，则()(0)fx为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333abcfafbfcff∴()()()9fafbfc．例4设ABC、、是ABC的三个内角，是非负常数，求tantantantantantan222222BCCAAB的最大值。例5用琴生不等式证明均值不等式nnAG，即：1212nninaaaaRaaan，则．证：∵iaR设()lgfxx，则()fx为(0)，上的上凸函数由琴生不等式：12121(lglglg)lgnnaaaaaann即1212nnnaaaaaan例6已知，120,(1,2,,)2,1inxinnxxx，，求证：12111(1)(1)(1)(1)nnnnnnnxxx证：12121111111[(1)(1)(1)](1)(1)(1)nnnnnnnnnnxxxxxx12111(1)(1)(1)nxxx);)(1)]1()1)(1[((1221112211nnnnnnabababababab利用结论：周六自主招生培训讲座4例7已知：120,(1,2,,)2,1inxinnxxx，，求证：12121nxxxnxxxn.例8设,iiab均大于0，1,2,3,,.in证明：11111()()nnnpqpqiiiiiiiabab，其中1p，且111pq.例930PABCPABPBCPCA若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；2''';sinsin'sinsin'sinsinsinsin'sin'sin'sinsin'(sinsinsin)sinsinsinsin'sin'sin'PABPBCPCAPACPBAPCBPAPBPBPCPCPA证：设、、，且、、依正弦定理有：nnxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnn111)1(1)]11()11)(11[(212121121121又nnnnnnnnnnnxxxnxxxnxxx)1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121666)21()6'''(sin)6'sin'sin'sinsinsinsin(周六自主招生培训讲座530150,3021sin,)21(sinsinsin3中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在例10（2011,湖北）（Ⅰ）已知函数ln1,0,fxxxx求函数fx的最大值；（Ⅱ）设,1,2,,kkabkn均为正数，证明：（i）若112212nnnabababbbb，则12121nbbbnaaa（ii）若121nbbb，则1222212121nbbbnnbbbbbbn。解：（Ⅰ）fxmax=f(1)=0（Ⅱ）证明（i）令g(x)=lnx(x0),则g”(x)=210,xg(x)在（0，+）上是凹函数，对于ak(0,+),(k=1,2,…，n)，由琴生不等式：111111lnln()ln10()nnkkkknnkkkkknnkkkkkkbabaabbbb11ln01knnkkkkkbba故a(ii)由(i)知，g(x)=lnx在0,上是凹函数，由琴生不等式：10对于bk(0,1),且11nkkb22111111lnln()knnkkknnbkkkknnkkkkkkbbbbbbb（*）0k111111112b,(0,),111ln1ln()ln,lnlnnn1(**)kknkkknnkkkkkknnnbkkkkkknbkkbbbbbbbbbbn对于且从而故ln周六自主招生培训讲座6例11(2012，湖北22题)（Ⅰ）已知函数()(1)(0)rfxrxxrx，其中r为有理数，且01r.求()fx的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,bb为正有理数.若121bb，则12121122bbaaabab；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式1()xx.解析：(1)(I)()min0fxf（II）证明：令g(x)=lnx(x0),则g(x)在(0,)上为凹函数（1题已证）10当1a，2a中至少有一个为0时，则12121122bbaaabab成立；20若1a，2a0时，由琴生不等式：112211221212lnlnln()babaababbbbb121bbln1212121122121122lnln()bbbbaaababaaabab综上，原不等式成立。（III）命题形式：设10,,),1,nkkkkabnb为正有理数,(k=1,2,若则11knnbkkkkkaab证明：10当1a,2a……an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。20当ak0,)n(k=1,2,时，由琴生不等式：111111lnln()knnkkkknnbkkkkknnkkkkkkbaabaabbb综上，原不等式成立。例12设半径为1的半圆上依次有1n个点121,,,.nAAA线段1iiAA的长度分别记为,1,2,,iain，求证：212112()nniiiiiiaaaan，其中1122,.nnaaaa例13设12nAAA是圆的内接n边形，且O点在此n边形的内部。又设'11,iiiiiiAAaAAa，1,2,,,in其中11,nAA求证：2'1sin.niiianan