高中函数课件

一一映射反函数映射函数奇偶性单调性应用对数函数指数函数知识结构（一）知识点归纳1、映射、函数、函数的三要素、函数的单调性、函数奇偶性。2、反函数，互为反函数的函数图像间的关系。3、指数,对数;指数函数,对数函数（二）典例分析（三）单元测试例1函数y=log(x2-2x+3)的定义域为_____值域为_____，单调增区间为______，减区间为______。解：x2-2x+30∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2∴y=log(x2-2x+3)≤-1单调增区间为（-∞,1]，减区间为[1,+∞）2121例2y=log2的值域为_______，增区间为______，减区间为_______。解：-(x2-6x+5)0x2-6x+501x5∴y=log2≤log22=1∴值域为y≤1增区间为（1，3]减区间为[3，5）24)3()56(22xxx)56(2xx)56(2xx例3函数y=log(x2-ax-a)在区间(-∞,1-)上是增函数则a的范围是_______。（f(x)=log(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数则a范围为______）。解：∵x2-ax-a=(x-)2--a∵y=log(x2-ax-a)在(-∞,1-)上是增函数∴≥1-(1-)2-a(1-)-a≥0∴2-2≤a≤2213212a42a2132a33332例4当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，则a的范围是________。解：令y1=(x-1)2y2=logax当曲线y=logax过A(2,1)时1=loga2∴a=2欲使x∈(1,2](x-1)2logax恒成立必须使1a≤2A(2,1)12xyO例5函数y=log2x+logx单调减区间为___。解：令t=logxy=t2+t=(t+)2-∴logx≥-∴0x≤∴函数y=log2x+logx单调减区间为(0,]31313121413121313133例6设0a1，x，y满足logax+3logxa-logxy=3若y有最大值为，求此时a值及x的值。解：logxy=logax+-3∴logay=log2ax-3logax+3a=∴a=∴logx=∴x=()=42xalog3434241414123238143)23(log2xaay例7函数y=logax(0a1)x≥1的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为t，t+2，t+4。（1）若△ABC面积为S，求S=f(t)。（2）判断S=f(t)的单调性。（3）求S=f(t)的最大值。0SttABCt+2t+4A′B′C′解：A(t,logat)B(t+2,loga(t+2))C(t+4,loga(t+4))S=SAA′BB′+SBB′CC′-SAA′C′C=(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|)-2(|logat|+|loga(t+4)|)∴t≥1∴S=logaS=loga(1-)在[1+∞)上为减函数（3）∴当t=1时S大=loga2)2()4(ttt2)2(4t95例8当0a1时方程a|x|=|logax|解的个数为_____个。例9方程ax+1=-x2+2x+2a(a0,且a≠1)解的个数为______。解：-x2+2x+2a=-(x-1)2+2a+12a+1a+1AByx10xyx=120例10已知x1是方程x+lgx=4的解，x2是方程x+10x=4的解，则x1+x2=_____。（A）5（B）4（C）3（D）1法1：∵x1+lgx1=4又x2+10x2=4∴3x140x21∴3x1+x25∴选B法2lgx=4-x10x=4-x∴x1+x2=4法3令lgx1=t则x1+t=4x1=10t∴10t+t=4又∵x2+10x2=4∴t=x2∴x1+x2=4xyx2x1(2,2)例11已知关于θ的方程sin2θ+acosθ-2a=0有实数解，求实数a的范围。解：原方程可化为：cos2θ-acosθ+2a-1=0令cosθ=t-1≤t≤1t2-at+2a-1=0法1令f(t)=t2-at+2a-1△≥0f(1)·f(-1)≤0-1≤≤1∴a·3a≤0∴a=0f(-1)≥0f(1)≥0∴0≤a≤4-2xyO-11xyO-11或2a3法2a==4-(+2-cosθ)≤4-2∴0≤a≤4-2法3原方程可化为：cos2θ-1=a(cosθ-2)t2-1=a(t-2)0≤a≤4-2θθcos2cos12θcos23333ty0例12某厂1、2、3月的产量分别为1，1.2，1.3（万件）日产量是月份的函数，模拟函数可以为二次函数，也可以为函数g(x)=a·bx+c。已知4月份产量为1.37（万件）问用哪一个函数模拟好？解：设f(x)=px2+qx+r由题设知：p+q+r=14p+2q+r=1.29p+3q+r=1.3∴p=-0.05q=0.35r=0.7f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3又ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3∴a=-0.8b=0.5c=1.4∴g(x)=-0.8·0.5x+1.4g(4)=-0.8·0.54+1.4=1.35∴用g(x)好。例13设a0，a≠1为常数，函数f(x)=loga（1）讨论f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性，并给予证明。（2）设g(x)=1+loga(x-3)如果方程f(x)=g(x)有实根，求a的范围。解：设U(x)=x1x2-5则U(x1)-U(x2)==55xx55xx55552211xxxx)5)(5()(102121xxxx∵x1x2-5∴x1-x20x1+50x2+50∴U(x1)-U(x2)0∴U(x)在(-∞,-5)上是增函数。当a1时f(x)=loga在(-∞,-5)上是增函数。当0a1时f(x)=loga在(-∞,-5)上是减函数。55xx55xx（2）loga=1+loga(x-3)有大于5的实根∴a(x-3)=a[(x-5+2]=令x-5=t(t0)a(t+2)=∴==t++12≥12+4∴a≤=∴0a≤。55xx55xx1055xx10tta1ttt)10)(2(t205412116531653单元测试一、单选题1）若指数函数y=f(x)反函数的图像过点(2,-1)，则此指数函数是（A）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，则f()=-的解为（B）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函数y=f(x)的定义域是[-2,2]，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（B）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2]2122xx22xx2x4）设集合A和B都是坐标平面上的点集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，则在映射下，象(2,1)的原象是（B）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函数y=f(x)的定义域和值域都是(-∞,0),那么函数y=f(-x)的图像一定位于（D）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限232123216）如果0a1,0x2x1，则下列各式中正确的是（B）（A）1ax2ax1（B）ax1ax21（C）ax2ax11（D）ax11ax27）若函数f(x-1)是偶函数，则函数f(x)(B)(A)以x=1为对称轴(B)以x=-1为对称轴(C)以y轴为对称轴(D)不具有对称性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（D）（A）-5（B）5（C）-3（D）33x9）已知函数f(x)，(x∈R)满足：(1)f(1+x)=f(1-x)；(2)在[1,+∞)上为增函数；(3)x10,x20，且x1+x2-2，则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是（A）(A)f(-x1)f(-x2)(B)f(-x1)=f(-x2)(C)f(-x1)f(-x2)(D)无法确定10）若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)内是增函数，又f(-2)=0，则x·f(x)0的解集为（A）(A)(-2,0)∪(0,2)(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,0)∪(2,+∞)11）若f(x),g(x)均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+1在(0,+∞)上有最大值4，则F(x)在(-∞,0)上有最小值（B）（A）-4（B）-2（C）-1（D）312）定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图像与y=f-1(x+a)+b的图像间的关系是（A）(A)关于直线y=x+a+b对称(B)关于直线x=y+a+b对称(C)关于直线y=x+a-b对称(D)关于直线x=y+a-b对称二、填空题13）已知函数f(x)=ax2+b(x0)的图像过点(-2,11),f(x)的图像过点(2,-1)，则a=___，b=___。14）已知logx3logy30，则0,1,x,y之间的大小关系是_________。15）已知0a1，则方程a|x|=|logx|。实根的个数是____个。16）设函数g(x)=是奇函数，则a=__。3-10yx12xxa2411a三、解答题17）设f(x)是R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上递增，若有f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求a的取值范围。解：∵2a2+a+103a2-2a+10∴2a2+a+13a2-2a+1a2-3a00a318）已知常数a1，变数x,y之间有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，试求以a,t表示y的表达式；（2）若t的变化范围为[1,+∞)此时y的最小值为8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3∴=logax+-3∴logay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）当t=时y小=a=8∴a=8=16此时x=16=64xyaaloglogxalog343223)(logxa43223)(t2343342319）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c满足abc,a+b+c=0（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵abca+b+c=0∴a0c0∴△0∴两函数图象交于两个不同点。2c43（2）设方程两个根分别为x1,x2则x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4abca+b+c=0∴a0c0a-a-cc∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)|A1B1|2ab2acab2ac42244aacb224)(4aacca])[(43221acac213320）如图所示，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省。D点应选在何处？解：设|AD|=x铁路上每吨千米运费为3k，公路为5k。总运费y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC2400xkky3002400x令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+100