高中数学必修四第二章习题

习题课(2)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()A．3B.92C．2D.12解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.答案：B2．已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝()A．23B．35C.23D.35解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝23.答案：C3．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则向量b的坐标为()A．(－22，－322)B．(22，322)C．(－322，22)D．(322，－22)解析：设b＝(x，y)，由已知条件，知|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.∴x2＋y2＝5，2x＋y＝5×5×22，解得x＝22，y＝322，或x＝322，y＝－22.∵向量a按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x0，y0，∴b＝(22，322)，故选B.答案：B4．已知OA→＝(－3,1)，OB→＝(0,5)，且AC→∥OB→，BC→⊥AB→，则点C的坐标是()A．(－3，－294)B．(－3，294)C．(3，294)D．(3，－294)解析：设点C的坐标为(x，y)，则AC→＝(x＋3，y－1)，AB→＝(3,4)，BC→＝(x，y－5)．∵AC→∥OB→，BC→⊥AB→，∴x＋3×5－0×y－1＝0，3x＋4y－5＝0，解得x＝－3，y＝294，∴C(－3，294)．答案：B5．已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP→·BP→有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：设点P的坐标为(x,0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)．AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP→·BP→有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C.答案：C6．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|AB→|＝3，|AC→|＝1，则AD→·(AB→－AC→)的值是()A．1B．2C.2D.3解析：由题意知，D为BC的中点，AD→＝12(AB→＋AC→)，所以AD→·(AB→－AC→)＝12(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝12(|AB→|2－|AC→|2)＝1，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝2，则|AB→·n|的最大值为________．解析：AB→＝(2,2)，|AB→|＝22，|AB→·n|≤|AB→||n|＝4，当且仅当AB→与n共线且同向时取等号．答案：48．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析：由已知，得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，所以向量a与b同向．又因为向量c与它们反向，所以a·b＋b·c＋c·a＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13.答案：－139．已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则(AP→＋BD→)·(PB→＋PD→)的最大值为________．解析：设AP→＝λAC→(0≤λ≤22)，则AP→＋BD→＝λAC→＋AD→－AB→＝λ(AD→＋AB→)＋AD→－AB→＝(λ＋1)AD→＋(λ－1)AB→，PB→＋PD→＝(PA→＋AB→)＋(PA→＋AD→)＝2PA→＋AB→＋AD→＝AB→＋AD→－2λAC→＝(1－2λ)(AB→＋AD→)，∴(AP→＋BD→)·(PB→＋PD→)＝[(λ＋1)AD→＋(λ－1)AB→][(1－2λ)·AB→＋(1－2λ)AD→]＝(λ＋1)(1－2λ)AD→2＋(λ－1)(1－2λ)·AB→2＝－16λ2＋8λ(0≤λ≤22)．∴(AP→＋BD→)·(PB→＋PD→)的最大值为－824×－16＝1.答案：1三、解答题(共45分)10．(本小题15分)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．(1)若a⊥b，求k的值；(2)若|a＋b|不超过5，求k的取值范围．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即(－2,2)·(5，k)＝0，(－2)×5＋2k＝0⇒k＝5.(2)a＋b＝(3,2＋k)，∵|a＋b|≤5，∴|a＋b|2＝32＋(2＋k)2≤25，得－6≤k≤2.11．(本小题15分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|1(k∈R)，求k的取值范围．解：(1)证法1∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.证法2如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.由题意可知，连接AB，AC，BC的三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC⊥AB，又∵BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.(2)∵|ka＋b＋c|1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c1，∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－12，∴k2－2k0，解得k0，或k2.即k的取值范围是k0，或k2.12．(本小题15分)平面直角坐标系内有点P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－π4，π4]．(1)求向量OP→和向量OQ→的夹角θ的余弦值；(2)令f(cosx)＝cosθ，求f(cosx)的最小值．解：(1)由题意得，OP→＝(1，cosx)，OQ→＝(cosx,1)．∴OP→·OQ→＝2cosx.又∵|OP→|＝1＋cos2x，|OQ→|＝1＋cos2x，∴cosθ＝OP→·OQ→|OP→||OQ→|＝2cosx1＋cos2x.∴向量OP→和向量OQ→的夹角θ的余弦值为2cosx1＋cos2x.(2)由(1)得f(cosx)＝2cosx1＋cos2x，x∈[－π4，π4]．设t＝cosx，则22≤t≤1.∴f(t)＝2t1＋t2＝2t＋1t，22≤t≤1.可以证明，当22≤t≤1时，t＋1t为减函数，则f(t)＝2t1＋t2是增函数．∴f(cosx)的最小值是f(22)＝2×221＋222＝223.