高中数学导函数专题

第1页（共59页）高中数学导函数专题一．解答题（共30小题）1．已知函数f（x）=𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑒𝑥𝑥（a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．（II）（i）当a=b=l时，证明：xf（x）+2＜0；（ii）当a=1，b=﹣1时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．2．设f（x）=ex﹣a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑎𝑒𝑥，𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a．使得1𝑛+3𝑛+⋯+(2𝑛−1)𝑛＜√𝑒𝑒−1(𝑎𝑛)𝑛对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．3．已知函数f（x）=12ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=√22处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：𝑥1𝑥2𝑒2＞1．4．已知函数f（x）=x﹣mex（m∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个零点，求证x1+x2＞2．5．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑒𝑥．第2页（共59页）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．6．已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛(12+12𝑎𝑥)+𝑥2−𝑎𝑥．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若𝑥=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞)上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在𝑥0∈[12，1]，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．7．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+𝑥33﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣12时，方程f（1﹣x）=(1−𝑥)33+𝑏𝑥有实根，求实数b的最大值．8．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．9．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤𝑙𝑛𝑥𝑥+1恒成立，求a的取值范围．10．已知函数f（x）=alnx+x2﹣4x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线y=f（x）上的两点，x0=𝑥1+𝑥22，问：是否存在a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．第3页（共59页）11．已知函数f（x）=alnx+1−𝑥2𝑥2，a∈R．（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，不等式f（x）≥1𝑥﹣e1﹣x恒成立．12．已知函数f（x）=𝑥2+𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥𝑒𝑥（其中e是自然对数的底数，a∈R）．（I）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．13．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3+23ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．14．设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于14．15．已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．16．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑥22[𝑚−2𝑓′(𝑥)]在区间（a，第4页（共59页）3）上有最值，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求证：𝑙𝑛(122+1)+𝑙𝑛(132+1)+𝑙𝑛(142+1)+⋯+𝑙𝑛(1𝑛2+1)＜1(𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗)．17．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…（1）若函数φ（x）=f（x）﹣𝑥+1𝑥−1，求函数φ（x）的单调区间；（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．18．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．19．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=2lnx﹣x2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[12，2]上的最大值．（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2．y=g′（x）是y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．求证：g′（px1+qx2）＜0．21．已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣14，g（x）=ex﹣e（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．第5页（共59页）（Ⅱ）设函数h（x）={𝑓(𝑥)，𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)，𝑓(𝑥)＜𝑔(𝑥)，讨论函数h（x）零点的个数．22．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑥2[𝑚2+𝑓′(𝑥)]在区间（t，3）上总存在极值？23．设f（x）=px﹣𝑝𝑥﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=2𝑒𝑥，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．24．已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．25．若f（x）={𝑥2−𝑎(𝑙𝑛𝑥−1)，0＜𝑥＜𝑒𝑥2+𝑎(𝑙𝑛𝑥−1)，𝑥≥𝑒其中a∈R（1）当a=﹣2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f（x）≥32a恒成立，求a的取值范围．26．函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）ex（a，b∈R）．（1）当a=0，b=﹣3时．求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点．（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，第6页（共59页）问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．27．已知函数f（x）=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑥+1，g（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0（1）求a，b的值；（2）若当x∈[0，+∞）时，恒有f（x）≥kg（x）成立，求k的取值范围；（3）若√5=22361，试估计ln54的值（精确到0.001）28．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=𝑥𝑒𝑥．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．29．已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．30．已知函数f（x）=xe1﹣x，g（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若对于∀x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同实数xi（i=1，2），使得f（x0）=g（xi），求实数a的取值范围．第7页（共59页）2017年12月16日高中数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知函数f（x）=𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑒𝑥𝑥（a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．（II）（i）当a=b=l时，证明：xf（x）+2＜0；（ii）当a=1，b=﹣1时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最