高中数学基础知识整理

第1页共13页高中数学基础知识整理§01.集合与简易逻辑1.元素与集合的关系UxAxCA,UxCAxA.2．集合运算全集U：如U=R交集：}{BxAxxBA且并集：}{BxAxxBA或补集：}{AxUxxACU且3．集合关系空集A子集BA:任意BxAxBABBABAABA4.包含关系ABAABBUUABCBCAUACBUCABR5．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.常见结论的否定形式原结论否定词原结论否定词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于（小于等于）至少有n个至多有（1n）个小于不小于（大于等于）至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q7.四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p原命题与逆否命题真假相同否命题与逆命题真假相同8.充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.第2页共13页（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02.函数1.函数的单调性设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.对于复合函数的单调性：fgx同增异减（即fx与gx的增减性相同，那么复合函数就是增函数（同增）；fx与gx的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））2．函数的奇偶性判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。f(x)偶函数()()fxfxf(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数()()fxfxf(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．3.函数的周期性T是()fx周期()()fxTfx恒成立（常数0T）（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）()()0fxfxa，或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,则)(xf的周期T=2a4.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.第3页共13页(2)函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx两个函数图象的对称性(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.(2)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象.互为反函数的两个函数的关系:abfbaf)()(1.5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa.6.指数函数与对数函数y=ax与y=logax注：y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）分数、指数、有理数幂mnmnaa（0,,amnN，且1n）；11mnmnmnaaa（0,,amnN，且1n）.当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.有理指数幂的运算性质(0,,)rsrsaaaarsR.()(0,,)rsrsaaarsR.()(0,0,)rrrabababrR.第4页共13页指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论:loglogmnaanbbm对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.注：性质01loga1logaaNaNalog常用对数NN10loglg，15lg2lg自然对数NNelogln，1lne7.零点存在定理若0)()(bfaf，则)(xfy在),(ba内有零点（条件：)(xf在],[ba上图象连续不间断）注：①)(xf零点：0)(xf的实根②在],[ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf，则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点§03.三角比、三角函数1．特殊角的三角函数值0643223sin0212223101cos1232221010tg03313/0/第5页共13页2．弧长rl扇形面积lrS213.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot.4.正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）5.和差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.6.二倍角公式sin2sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan.7.辅助角公式sincosab=22sin()ab8.正弦定理2sinsinsinabcRABC.9.余弦定理2222cosabcbcA;（求边）cosA=bcacb2222（求角）2222cosbcacaB;2222coscababC.10.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.11．三角函数的图象性质y=sinxy=cosxy=tanx图象第6页共13页sinxcosxtanx值域[-1，1][-1，1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴2/kxkx无中心0,k0,2/k0,2/k§04.平面向量1.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212xxyy.2.a与b的数量积a·b=|a||b|cosθ．a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3.两向量的夹角公式121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).4.向量的平行与垂直设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则平行：ba//ba1221yxyx（0b）垂直：0baba02121yyxx5.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.第7页共13页§05.数列1.等差数列定义：daann1通项：dnaan)1(1求和：2)(1nnaanSdnnna)1(211中项：2cab（cba,,成等差）性质：若qpnm，则qpnmaaaa2.等比数列定义：)0(1qqaann通项：11nnqaa求和：)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn中项：acb2（cba,,成等比）性质：若qpnm则qpnmaaaa3.数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn(数列{}na的前n项的和为12nnsaaa).4.数列求通项常用几种方法累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。5.数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法§06.不等式1.常用基本不等式：（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）,abR2abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（3）2)2(baab(当且仅当a＝b时取“=”号)．备注：求最值条件是“一正、二定、三相等”2.含有绝对值的不等式第8页共13页当a0时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或xa.3.无理不等式（1）()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx.（2）2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或.（3）2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx.4.指数不等式与对数不等式(1)当1a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx.(2)当01a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx§07.立体几何与空间向量1．体积与侧面积V柱=S底hV锥=31S底hV球=34πR3S圆锥侧=rlS球表=24R2．公理与推论确定一个平面的条件：①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两相交直线④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。3．空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（0°，90°]平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围[0°，90°]定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围[0°，180°]第9页共13页定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法--用三棱锥体积公式4．立体几何中的空间向量解法法向量求法：设平面ABC的法向量n=（x,y）0,0,ACnABnACnABn解方程组，得一个法向量n异面直线所成角cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）直线与面的夹角nABnABABn,cossin（其中n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，AB与平面所成的角为）二面角：设12,nn是面,的法向量，二面角l的大小为，则21,coscosnn或21,cosnn即二面角大小等于21,nn或12,nn5.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的