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12012高考文数——立体几何大题解题技术2011全国高考文数立体几何大题总观:线线垂直(5):课标、山东、浙江、江西、湖北。线线平行(1):安徽异面线角(1):上海线面垂直(5):全国、福建、天津、辽宁、湖南。线面平行(5):北京、江苏、山东、天津、四川。线面角量(3):全国、天津、湖南。面面垂直(2):江苏、陕西。面面平行(0):未考二面角量(4):浙江、湖北、重庆、四川。棱锥体积(7):课标、福建、安徽、辽宁、陕西、重庆、上海。【温馨提示】总观2011全国各地立体几何大题,主要考察线线关系(垂直、平行和异面角)、线面关系(垂直、平行、线面角)、面面关系(垂直、平行、二面角)以及棱锥体积这四个方面。重点是:线面垂直+线面关系+二面角量+棱锥体积【解题思路点拨】线线关系:(1)证明线线垂直:通过证明线面垂直——》线线垂直。2(2)证明线线平行:通过公共平行线传递,多用中位线定理。(3)求异面直线角:通过平行移动,对接至某一三角形中,解三角形。线面关系:(1)证明线面垂直:思路有二:一是找到两组线线垂直关系。与两条相交的直线分别垂直即可。多用另一个线面垂直“倒”推出一个垂直关系,再加上一个直接垂直关系;二是垂直于互相垂直的两面公共线的直线垂直另外一个面。(2011全国20)(1)找到AB中点H(因为SAB是等边三角形,找到中点就会出现垂直关系),然后分别连接SH和DH,则出现了一个线面垂直:SDHAB面SDAB,找到了一个垂直关系;然后再通过勾股定理计算90HSD,找到另外一个垂直关系,即可得证。(2011福建20)(1)先由线面垂直ABCDPA面CEPA,找到了一组垂直关系;再由ADCEABCEADAB//,又找到一组垂直关系。得证。(2011天津17)(2)由DAPOABCDPO找到一组垂直关系;再由底面几何关系推出ACDA找到另一组垂直关系,得证。(2011辽宁18)(1)由PQCDADPQCD找到一组垂直关系;再由底面几何关系推出DQPQ找到另一组垂直关系:得证。(2011湖南19)(1)同理。(2)证明线面平行:找到一组线线平行线面平行。若题中条件没有,就通过作辅助线画出,尤其要画出新平面与目标平面的交线!3(2011北京17)(1)由BCPDEGFDE面////(2011山东19)(2)图中没有现成的平行线,所以得添加辅助线,连接OAOBDACCA111,(同时连接)交与和,OA1就是新平面与目标平面的交线,从图中判断,只要证明OACC11//即可。(2011江苏16)(1)题中已经给出PDEF//的平行关系,直接用之即可。(2011天津17)(1)题中图中没有可用的现成平行关系,对角连接BD和MO,则证明MOPB//即可。(2011四川19)(1)题中已然给出了辅助线DO(1BAO为中点),但还需连接AB1,只要证明DOPB//1即可。(3)求线面角:找到或作出斜线在目标面上的投影(线面垂直),一般是通过“作面面垂直公共线垂直的手法”作出。如果不方便直接作出,则可以通过平行关系转移到方便作投影的位置进行投影(如2011全国20题)则投影直角三角形的某个锐角(斜线与投影夹角)即为线面角,转换为了解直角三角形问题。(2011全国20)(2)图中不能直接作出AB在目标平面SBC上的投影,所以思考通过平行移动AB来作出其在目标平面SBC上的投影,同时考虑到作投影是一种线面垂直关系,一般是通过”作面面垂直公共线垂直的手法”作出,所以本题就先作出ABOGOOABCDSO//作,再过于,然后由线面角定义可知,所成的线面角。与平面即为SBCABSGO(2011天津17)(3)题中已经存在一个面面垂直关系:ABCDPDB,的投影关系线的手法作出线面垂直,所以可通过垂直公共点又在这个垂直平面上M4,EDOME于,则即为所求线面角MAE。(2011湖南19)(2)观察题中图形,已经存在一个面面垂直关系:PACPDO,则通过O作两垂直面公共线的垂线即可作出投影关系(线面垂直),即为所求线面角。,则于作过OECEPDOEO。面面关系:(1)证明面面垂直:先找到一个线面垂直关系,然后这条垂线在一个平面上,则两个面垂直。线面垂直面面垂直。(2011江苏16)(2)观察图形,可以先证明PADBEFBFBEFPADBF,推出面面垂直过,然后一个线面垂直.(2011陕西16)(1)存在一个线面垂直关系ADADBBDCAD过直线又,ADCADB,所以推出面面垂直.(2)求二面角:三种思路方法:一是通过三垂线定理作出二面角的平面角;二是直接作出公共棱的同点垂线找出二面角的平面角;三是通过垂直关系下的面积比算出其余弦值。(2011浙江20)(2)观察题图,图形呈现两边对称的特点,所以可以采用第二种思路,直接做公共棱的同点垂线找到二面角的平面角。具体过程为为所求二面角的平面角,则,连接于作过BHCCHHPABHB,解三角形即可。(2011湖北18)(2)观察题图,发现1EFCCF,可用面积比求二面角的余弦值,即11)cos(1ECCEFCSSCCFE另外:此图中还存在现成的平面角CEF,ECCEECFE11且因为.(2011重庆20)(2)题中存在一个面面垂直,则可通过做公共线的平5面垂线作出线面垂直,即ABCDEFABEFEACDED,则于,于作过,为所求二面角的平面角DFE,解三角形即可。(2011四川19)(2)题中已经存在线面垂直11CACABA,过A作DA1的垂线角。即为所求二面角的平面,则连接AEBBEAE,(3)证明面面平行:通过线面平行推出面面平行。一个平面上两条相交直线平行于一个平面,则两平面平行。冷门,了解即可。棱锥体积:求棱锥体积的关键是作出立体高来,一般是通过线面垂直作出,有两种方式:一是垂直的面面公共线的垂线手法,二是两组垂直关系的线面垂直。(2011课标18)(2)题中所求其实是的垂线长,即线面垂直到面点PBCD观察图中有没有面面垂直,发现存在面面垂直关系PBCPBD,那么可以通过作公共线的垂线作出线面垂直而达到目的,即即是所求的立体高中的高则平面三角形作过DEPBDPBDED,。(2011福建20)(2)观察题图:已经存在了线面垂直ABCDPA底面,那么直接应用即可。(2011安徽19)(2)观察题图:存在一组面面垂直关系ACFDABED,那么可通过作垂直面的公共线的垂线作出线面垂直的立体高,具体为:。就是所求锥体的立体高则作过FKADFKF,(2011辽宁18)(2)通过观察可知,题中所涉两个锥体的立体高(线面垂直关系)都已经存在,那么可以直接利用之。6(2011重庆20)(1)题图中存在一组面面垂直关系ABCACD,那么可以通过作垂直面面公共线的垂线达到作出立体高(线面垂直)效果,即体高。即为所求锥体体积的立,则作过ACACDED总结:通过以上分析,线面垂直是立体几何高考中的重中之重,线面垂直可以推出线线垂直和面面垂直和立体高,线面垂直同时也能找到线面角和二面角。另外,证明或作线面垂直关系的思路有两种:(1)两组垂直关系;(2)通过与垂直面面公共线的垂线实现。
本文标题:高中数学智库讲义(立体几何专题适用文科和理科初步)
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