量子力学(曾谨言)三：力学量用算符表达

Chap3力学量用算符表达§3.1算符的运算规则1.线性算符：如果22112211ˆˆˆAcAcccA其中，线性算符Aˆ算符相等：对任意,GFGFˆˆˆˆ有取复共轭——非线性算符。*22*11*2211ccccII单位算符2.算符运算法则：(1)算符之和：(2)算符之积)ˆ(ˆ)ˆˆ(BABA不对易，对易，对易关系：对易。、，称；如果一般BABAABBABABAABBAABBAˆ,ˆ0ˆ,ˆ0ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(4)算符的函数111ˆˆ)ˆˆ()3(ABBA逆算符3.算符操作：(1)定义一个量子体系任意二个波函数之间的标积.,,,,,,,,,0,,2*21*1221122112211**ccccccccd(2)转置算符：AA~ˆ,ˆ****ˆ)~ˆ(~ˆ~ˆAAAdAd，，即有，对于任意xxxxdxxdxxdxxdxxx~****~*~),(ABBA~ˆ~ˆ)ˆˆ(xpxpAAAxxi)ˆ(iˆ)ˆ(ˆˆ)3(*****定义：复共轭算符ABCCBAAAAAAAAAAˆˆˆ)ˆˆˆ(~ˆˆˆ)~ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ,(),ˆ()ˆ,()4(******的厄米共轭算符定义：厄米共轭算符AAAAAAAAAAAˆˆˆˆˆ.ˆˆˆˆˆˆ.,)5(，，，厄米算符—，则或，，若满足等式算符对于任意函数厄米算符符力学量算符都是厄米算一般不是厄米算符仍为厄米算符为厄米算符，则证明BAABABBABABABABABAˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆ,ˆ:(1)在任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。.ˆ,ˆˆ,***为实数，AAAAAAAA4.关于厄米算符几个定理：0ˆˆˆˆˆ)3(22___2dAAAAAA，，态下：为厄米算符，则在任意推论：(2)逆定理：在任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符.xxpxixixixipˆ)()()()ˆ(**(1)ABBABAˆˆˆˆˆ,ˆ5.量子力学中基本对易式：BCACBACBACBACABCBACABACBAABBAˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ(2)坐标算符与动量算符ixxiixxixxixxixppxxppxpxBABAipxpxxxxxxxxˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ.ˆ,ˆˆˆ证：任意态，—，有和0]ˆ,ˆ[,0],[,0]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[ˆ,]ˆ,[yxyzyxxppyxpxipzipypxipx，不对易ip]ˆ,[角动量对易式.6prLzxyyzxxyzzyxepypxepxpzepzpypppzyxkjiprLˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)1(0,,1,,1,ˆ,ˆˆ,,ˆ,ˆ],ˆ[,ˆˆ,ˆ0ˆ,,ˆˆ,,ˆ,ˆ],ˆ[,ˆˆ,ˆˆ)2(逆自然顺序自然顺序与坐标对易式iLyizLzipyzypzypzypyypzpyyLpxzxpzpxyxpyxpzxpyxpzpyxLLxyyyzyzxyyzzyzyzxpipLpLˆˆ,ˆˆˆ)3(与LiLLLLˆˆ,ˆˆˆ)4(与0ˆ,ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ]ˆ,ˆˆˆ[ˆ,ˆˆˆˆˆˆˆ)5(222222222222LLLLiLLiLLiLLiLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLzyyzyzzyzxzxzzyxyxyyxzxyxzyxxzyx与7.角动量算符表示：(1)定义：LiLLbpypxLpxpzLpzpyLprLaxyzzxyyzxˆˆˆ)(ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)(xyrzzyxrrzryrxatancoscossinsincossin)()2(2222坐标间关系球坐标直角坐标系22222222sin1sinsin1ˆˆˆˆ)(ˆsincotcosˆcoscotsinˆˆ,ˆ,ˆ)(zyxzyxzyxLLLLciLiLiLLLLb的球坐标表示§3.2厄米算符的本征值和本征函数1.厄米算符**)ˆ,(),ˆ()ˆ,(ˆ)ˆ,ˆˆ),ˆ()ˆ,()AAAAAAAbAAAAAa为实数为厄米算符，则若为厄米算符则或，如果有、定义：对于任意2.力学量A的平均值和涨落222222)ˆ,()ˆ,()ˆ()()ˆ,(A)(AAAAAAAAA力学量涨落，测量力学量归一化一体系处于量子态的本征态下测量即在若也为厄米算符为厄米算符AAAAAAAAAAAAAAAAAAAˆˆ0)ˆ(0)(0)(ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆˆ223.关于力学量算符的基本假定——力学量算符用一个线性厄米算符来表示①②的本征值都是相应算符时，测量力学量处于一般态的本征值对应于本征态且为有确定值，下，测量力学量的本征态当体系处于算符AAAAAˆ,ˆˆ为实数力学量算符是厄米算符由态叠加原理决定—一定线性力学量算符**22112211),(),(),(),(),ˆ()ˆ,(ˆ)2(ˆˆˆˆ)1(AAAAcAcccAAnninnnnnnnnAnicccAAAAAA得唯一值态下测在则若下测研究在任意态完全集合—本征值，所有可能出现的值为下测量力学量在任意态量值之一力学量算符本征值是测,0)(1,ˆˆˆ)3(),(,,,,2232221121nnnnnnncccccAc其中相应几率：可能值：值不定下测在若交值的本征函数，彼此正厄米算符属于不同本征实数厄米算符的本征值必为二个定理)2()1(.4nnnmmmnmnmAAAˆˆˆ321321正交)(0),(),(),(),(),()ˆ,(),ˆ(nmAAnmnmnmnnmmnnmnmmnmnmmmnnnnmnnnnnmmnnnnncccccc),(),(),(),(正交归一完备的函数系—厄米算符的本征函数系nmnmxdxanxamaxanaxnmn10sinsin2),(sin2)(:一维无限深势阱例5.力学量算符本征值和本征函数①连续本征值：本征函数：00000)(ˆ)()(ˆˆxxxxxxxxxxx②任意取值，连续谱本征值：本征函数：xxipxxxpexppxixipx21)(ˆˆ③二重简并—一个能量对应两个态连续本征值本征函数mpedxdmmpHxxpixx2ˆ:21(x):22ˆˆ22222)-(21d,')-p(p'-)('*)()(')(xxxixpxpxpxpppdxexxxxxxx）（)'('),()),()连续谱：分立谱：—正交归一完备系—力学量算符bamnnmimmzzzLiZzcemLmLLceiLLLLLLLz）（）（是厄米算符）证明本征值、本征函数（先)2,1,0(m'22'12'cos)('ln'iˆiiˆiˆˆˆ'zzzzz④21c1d|c|d||2202m20mm）（））（），（（πmnin-imnmmZδLLde21e21))(),((210mme21)(ˆ20zim），，（本征值：本征函数：⑤转子2222222sin1sinsin1ˆ2ˆˆ2,LILHILHI能量转动惯量为时简并时不简并，，，平面转子转子绕固定轴转动00m2)210m(21)()()(ˆ22ˆˆ)()222222mImEeEHIILHamimmz)()(ˆsin1sinsin122ˆˆ0)()()22222EHIILHcrVb，约束在球面上空间转子转子绕固定点转动IllEYllm2)1(),(2—球谐函数—)2,1,02,1,0(lml12)12(lfl个波函数一个能量§3.3共同本征函数§3.3.1不确定关系严格证明BBABiBAiAABiABiABiAIˆˆˆˆˆˆˆˆ))ˆˆ(,)ˆˆ((0dˆˆ22，，，，的积分引入实参量?0)(,ˆ0)()(,ˆ22BBAAAAA是否有确定值？本征态下测力学量若在本征值有确定值本征态下测力学量BBBAAAkiBABAˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ˆ,ˆ.1设)ˆ,ˆ()ˆ()ˆ())ˆˆˆˆ(()ˆ()ˆ(222222BAiBAABBAiBA，，BABABABABABBAAkiBAˆ,ˆ,ˆ,,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ证明：0k)(222BAIBABABABAkBABAkˆ,ˆ21)()(ˆ,ˆ41)()(4)()(0)()(422222222222BABAˆ,ˆ21）（），（或讨论完全不确定完全确定pxpxpxipxPBxAxx024)(]ˆ,[ˆˆ,ˆ)1(.222可以同时侧准该态下，可找到共同本征态，在且此时有可能找到态，使，B，A000ˆ,ˆ0ˆ,ˆ2222BBBABA对易若(2)态，不能同时侧准一般不能具有共同本征一般不能同时为一般不对易，若0,0ˆ,ˆ0ˆ,ˆ)3(2222BBBABA