量子力学课件(1)

1量子力学辅导参考书：1.曾谨严《量子力学教程》2.陈鄂生《量子力学习题与解答》主讲：孟庆田宋玉志2教学目的：1、系统了解量子力学I的基本内容2、系统掌握量子力学解题的基本思路和方法3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实的基础3第一部分Schrödinger方程一维定态问题一、学习要点(2)是单值的；|),(|tr(3)与是连续的。),(tr),(trt1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数表示.表示时刻粒子处于空间处体积元内的几率，即代表几率密度。根据波函数的物理意义,波函数应具有如下性质：d),(trr2|),(|tr),(trd|),(|2tr(1)在全空间找到粒子的几率取有限值,即是平方可积的；),(trd|),(|2tr42.波函数满足方程—含时薛定谔方程),(tr),(),(2),(22trtrVtrti或),(ˆ),(trtrti其中),(2ˆ22trV是粒子的哈密顿算符。它由动能算符与势能算符组成。如果势能不含t，则222ˆT),(trV)(rVV)(),(retriEt5波函数满足定态薛定谔方程)(r)()(222rErV或)()(ˆrErH上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为nE,2,1),(nrn包含时间在内的定态波函数为)(),(retrntiEnn6含时Schrödinger方程的一般解为)(),(1reCtrntiEnnn其中为任意常数。如果已知初条件则常数不再是任意的，它由唯一地确定：drrCnnn)()(),(*)()0,(rtrnCnC)(r代表粒子的能量取值为的几率。2||nCnE即一般解可以写为定态解的叠加。73.一维束缚定态有如下性质：(1)能量是非简并的（某些不规则势阱除外）；(2)波函数是实函数；(3)如果势函数满足对称条件则波函数有确定的宇称,即为奇(偶)函数)(x)(xV),()(xVxV4.一维无限深势阱中的定态能量和波函数为axxaxxV,0,0,0)(2,1,22222nanEaxxaxaxnarn,000,sin2)(0ax)(xV)(1x8如果坐标原点取在势阱(宽度2a)的中心，则定态波函数为具有确定的宇称。)(xnn)1(5.势能为的一维谐振子定态能量和波函数为2/)(22xxV,2,1,0,21nnEn!2),()(21222nNxHeNxnnnxnnaxaxnxananxanax||0||,6,4,22sin1,5,3,12cos1)(a0ax)(xVIIIIIII)(1x96.在δ函数势场中，定态波函数在点连续，但在点不连续：)()(axAxV)(xax)('xax)(2)()(2aAaa)(x7.波函数为的一维运动粒子的动量几率分布函数为2212d)()2(1)()(xxeppWipx几率流密度为)(dd)(*Im)(*dd)()(dd)(*2xxxxxxxxxij﹟当波函数为实函数时，几率流密度为0.如何理解？波函数是驻波！10二、例题▲量子力学中常用的二阶常系数齐次线性微分方程的解0'''qp，则其解为，rr若两个根为2102qprr对方程其特征方程为rxexcc)(21xrxrecec21211,2r(1)两不相等的实根)sin(xex)sincos(21xcxcex﹟xixiecec)(2)(1rrr21(2)相等实根ir2,1(3)共轭复根111.2质量为的粒子处于一维势场中，求定态能量与波函数。)(xEaxxaxaxaxxV00000)(-a0a解：涉及的问题分三个区I区阱外波函数为0II区-ax0III区0xa222,0''EkkIIIIIII12其特征方程解为两个共轭复根ir2,1考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式axkxBkxAxxakxBkxAx0,sincos)(0,sincos)(222111但在原点处波函数必为0，从而可令axkxAx||,sin)(利用边界条件0)(a得,2,1,nnka从而有222222,2anEEankn由归一化条件1d*aax可得aA1从而有xanaxnsin1)(13由于势函数具有空间反射不变性，具有确定宇称的波函数是（2）奇宇称)|(|0)|(|sin1)(axaxxanaxna0ax)(xVIIIIIII)(1x（1）偶宇称)|(|00sin10sin1)(axxaxanaaxxanaxna0ax)(xVIIIIIII)(1x﹟但一维束缚能级是不简并的，问题在哪里？无限高方位势，波函数导数不连续！xanaxnsin1)(两解隶属同一能级22222anEn去掉哪一个解？14利用两个一维无限深势阱，通过边界条件联系起来a0ax)(xVIIIIIII)(1x问题：能否利用宽度为2a的一维对称无限深势阱，选择那些在x=0处，波函数为0的态？axaxnxananxanax||0||,6,4,22sin1,5,3,12cos1)(﹟另外一种处理方法：答案：不行！一旦存在中间无限高势，波函数马上会变成的偶宇称波函数。0)0(比如右图的基态--151.3求在半壁无限深方势阱中，求束缚态的条件。)0(0VaxVaxxxV,0,00,)(00aV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解超越方程组。（1）理解题目问题含义，分区求解解：涉及的问题分三个区在区0x0)(x在区，令ax02/2Ek得定态方程16)1(0,0)()(222axxkdxxd在区，令ax20/)(2EV得定态方程)2(,0)()(222axxdxxd0aV0方程(1)满足边界条件解是0)0()3(0,sin)(1axkxAx方程(2)满足边界条件解是0)()4(,)(2axBexx由连续条件与得)()(21aa)(')('21aa注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同区域分别求解并通过边界条件联系起来172220222QaVctan)6(cos)5(sinaaeBkaAkBekaA以上两式相比得)7(tankakc令kaa,代入(7)式，并由定义k,220/2,/)(2EkEV可得其中220/2aVQ可以给出这两个方程在第一象限中的线形18其定态能量由两条线的交点定出。可以看出，唯有当2Q时有交点。故存在束缚态的条件是2/2220aVQ或82220aV﹟191.4质量为的粒子在一维势场中运动，其中与均为正实数。0V000',')()(0xVxVVxxV(1)试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；(2)给出粒子处于区域中的几率.它是还是，为什么？0x2/12/10xV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件（1）理解问题含义，分区求解（3）δ函数的作用)0(2)0(')0('220解：0xV0在区域，令0x/||2E有定态方程0''2其解为xxBeAe在区域，令0x/|)|(20EV有定态方程0''2其解为xxDeCe在x=0区域是δ势阱,(1)波函数满足边界条件),0()0(故波函数的解为0,0,)(xAexAexxx(2)波函数导数满足跃变条件)0(2)0(')0('2a0)(2122a可以得到或/||22/|)|(220EEV两边平方，得022221/||2VE显然|E|有解的条件为0222V或2022V这正是存在束缚态的条件。而束缚态能级由前式给出为20222228VE束缚态波函数由式0,0,)(xAexAexxx给出22归一化系数确定为212A粒子处于区的几率为0x022||dxeApx因为0,0,2显然所以21p﹟即231.6谐振子势中心附加函数势，),(2/)(022xVxxV在原定态解中，哪些仍是解，哪些不再是解，需要重新求？提示：（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点（2）了解δ函数的作用，会使用跃变条件V(x)x0（3）要求波函数及其导数都要连续24解：原谐振子势体系的波函数为,2,1,0),()(2221nxHeAxnxnn此波函数及其导数在原点处是连续的在原点加上δ势后，波函数导数要发生跃变，但偶宇称波函数显然不满足V(x)x0因此在原谐振子波函数中满足此条件的唯有波函数的奇宇称解，即,5,3,1),()(2221nxHeAxnxnn)0(2)0()0(20V注意此题与1.2题的异同，无需求偶宇称解。﹟251.10质量为的粒子在势场中作一维运动，两个能量本征函数分别为2/222/122)()(,)(xxecbxxBxAex)(xV均为实常数。试确定参数的取值，并求这两个态的能量之差。cbBA,,,cb,12EE提示：（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。26解：)1()()()(2111222xExxVxdd与分别满足定态方程)(1x)(2x)2()()()(2222222xExxVxdd将代入方程（1），得2/12)(xAex)3(2)()(2221xExV显然满足空间反射不变性，)(xV)()(xVxV从而此一维势场中束缚定态波函数具有确定的宇称。对第二个波函数272/222)()(xecbxxBx要具有确定的宇称，必有0b2/222)()(xecxBx如何确定c值？利用正交关系0)()(2*1xxxd得21c故2/222)21()(xexBx如何求能级E1，E2之差？看S-方程从而有28化简后，有12)2()1(21122''21''12)(2EE将最后所得波函数代入上式，可得2122EE)1()()()(2111222xExxVxdd)2()()()(2222222xExxVxdd﹟29关键：等效方法将长度变量变为角度变量会使用相应δ函数的跃变条件1.11一质量为的粒子在一圆周（周长为）上运动。如果还存在函数势请求出系统的所有能级和相应的归