选修4-7优选法简明课件(1)

选修4－7优选法单峰函数黄金分割法/0.618法问题提出问：在100克水中放入x克糖（x30）,当x为多少时，糖水的口感最好呢？如何设计试验会使试验次数最少呢？问：有一个1km2的正方形池塘，现在要找到池塘的最深点，若每隔1m测量一次，大约要测量多少次？怎样测量次数会比较少呢？如何用更少的试验得到目标的最优解，是生产生活中普遍存在的实际问题。从容易的情形入手:若影响试验目标的因素只有一个（单因素问题），且在因素区间[a，b]上，函数f(x)只有唯一的最值点C，且在点C的两侧反向单调，称f(x)为单峰函数。xyOabCf(x)xyOabCg(x)单峰函数特别地，单调函数也视为单峰函数。使试验的结果（目标）最好，即函数f(x)取最值的x值，叫做最佳点.为找到最佳点而进行尝试的试验点（x的某些值）称试点。比较两个试点，结果更好的叫做好点，另一个叫差点。问：求解函数最值就行了，为什么要做实验？什么叫“结果更好”？试验术语许多实际问题没有解析式，只能靠试验。结果更好是指函数值更高（低）。问：设x1和x2是因素范围[a，b]内的两个试点，C为最佳点，好点与差点哪个更接近最佳点？若好点和差点在最佳点同侧，则好点比差点更接近最佳点；否则，不确定.xyOabCf(x)xyOabCf(x)思考5：[0,1]上，0.2是好点，0.5是差点，则最佳点在哪个更小的区间上呢？xyOabCf(x)xyOabCf(x)最佳点与好点必在差点的同侧.以差点为分界点，把因素范围分成两部分，其中好点所在部分称为存优范围.逐次试验，不断缩小存优范围。存优范围问：根据上述结论，你能设计一个找最佳点的试验方法吗？问：当两个试点结果一样好时呢？例、已知函数f(x)为区间[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a时取最大值。若f(0.3)f(0.6)，则存优区间为;若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为。练、某事物受单因素影响，因素变化区间为[1，10].先在区间的三等分点做两次试验，再在存优区间的一个三等分点做第三次试验。则三次试验后，求存优区间的长度d的取值范围。[0.3,1][0.3,0.6]{3,4}如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点，是优选法的核心问题.回顾试验步骤：1、在因素区间上做两次试验，得到好点、差点。2、以差点向好点一侧为存优区间，继续做实验，与原好点比较好坏。3、重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点。如何取试点决定了整个试验设计的优劣假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则两次试验后存优范围缩小到了什么区间？(0，0.2)xyO0.11f(x)0.2xyO0.11f(x)0.2(0.1，1)考虑到最佳点位置的随机性，在选取两个试点时，应具有什么相对位置关系？对称性ab在实践中，我们发现，满足下面两个条件的试点安排方法比较好：1、从第二次试验开始，新试点与存优区间内已知试点关于存优区间中点对称。2、从第二次试验开始，每次试验后的存优区间与此次试验前的存优区间长度之比为常数.问：区间[a,b]上进行试验，当取点规则满足上述两条时，探究的值。x1x2abx3如图，设进行了3次试验，取点分别为x1、x2、x3.则可设x2-a=b-x1=m,x1-x2=n.不妨设x1为好点，两次试验后，则存优区间为[x2,b].截去区间的比例为nmm2若x3取在区间[x2,x1]上且为好点，则第三次试验后截去区间的比例为，不合要求。故x3取在区间[x1,b]上。nmmx1x2abx3mnm如图可知，不论x1、x3谁为好点，第三次试验后截去的区间长度都是n。从而nmmnmnm2215022nmnmnmx1x2abx3mnm215为黄金分割比。称为黄金分割常数，用ω表示，ω≈0.618.试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法，也叫做0.618法.512黄金分割法——0.618法问：运用0.618法，具体该如何取点呢？x1x2abx3mnm取定第一点（黄金分割点）后，运用对称性取后续点。例：炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使练出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间。（1）若以1g为间隔，把所有的可能性都做一遍试验来寻找最佳点，这种方法称为均分法。则利用均分法需多少次试验才能保证取到最佳点？1001次.（2）若用0.618法来试验，则前3次的试点是多少？(设x1相对x2为好点)x1＝1000＋0.618×(2000－1000)＝1618(g)，x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).x1x210002000x3x3＝x2＋2000－x1＝1764(g).问：能否归纳出0.618法取点的规则及一般公式？0.618法的取点规则因素范围是[a,b]时，第一点x1取值为：之后，如果存优范围的左右两端点值分别为小头和大头，xi为存优范围中的已知试点，则新试点xj取值为：x1＝a＋0.618×(b－a)xj＝大头＋小头－xi口诀为：加两头，减中间。折纸也行！x2折叠x1abx3练：已知某因素范围是[100，1100]，用黄金分割法寻找最佳点，已知前6次试验后的好点包含在区间[700，750]内，求第6次试验后的存优范围.[684，774]例：在上例中，若用0.618法测得一个满意的最佳点为x=1124,求一共进行了多少次试验?请算出所有试点的值，并比较0.618法与均分法的优劣.1618,1382,1236,1146,1090,1180,1124或1090之后试点为1056,1112,1124用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，存优范围越来越小。我们用δn刻画n次试验后的精度，其计算方式为：n次试验后的存优范围原始的因素范围δn＝0.618法的精度问：求精度δn的通项公式。δn＝0.618n－1问：求精度为δ时试验的次数n。lg1lg0.618n练调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间，用0.618法寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不超出1g，问需要做多少次试验？需要做19次试验练在用0.618法寻找最佳点的过程中，若某次试验后的存优范围是[2，b]且2.382是这个存优范围内的一个好点，求b的值.b＝2.618或b＝3.课堂小结1.优选法解决“用最少试验次数获取最优解”的问题.2.在单因素试验中，单峰函数型的试验是最简单的试验。4.通过尝试“试点”，比较“好点、差点”，逐步缩小“存优范围”的办法，可以有效地找到“最佳点”。3.存优范围总在差点向好点一侧的因素范围内。5.建立黄金分割法的基本原则是：两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例.6.黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数，第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定.7.试验方法的效率常用精度δn来反映，在相同试验次数下，精度越高，方法越好.作业：练习卷（同步）变式训练例1据医学统计，人群中带有某种传染病毒的人所占的比例为0.25%.某市在一次高考体检中有1万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带此病毒，医院采取一种叫“群试”的方法，通过血液化验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干人的血样混合在一起化验．若某组混合血样中含此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这样就可以减少化验的次数．若将这1万名考生平均分成200组进行群试化验排查，那么至多做多少次化验，就一定能找出所有该病毒携带者.1424次