2018年成人高等学校招生全国统一考试高起专《数学》试题及答案解析

2018年成人高等学校招生全国统一考试高起点数学第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、选择题(本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={2,4,8}，B={2,4,6,8}，则A∪B=（）A.{2,4,6,8}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{6}2.不等式𝑥2−2𝑥0的解集为（）A.{𝑥|𝑥0或𝑥2}B.{𝑥|−2𝑥0}C.{𝑥|0𝑥2}D.{𝑥|𝑥−2或𝑥0}3.曲线𝑦=21−𝑥的对称中心是（）A.(−1,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)4.下列函数中，在区间(0，+∞)为增函数的是（）A.𝑦=𝑥−1B.𝑦=𝑥2C.𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥D.𝑦=3−𝑥5.函数𝑓(𝑥)=𝑡𝑎𝑛(2𝑥+𝜋3)的最小正周期是（）A.𝜋2B.2πC.πD.4π6.下列函数中，为偶函数的是（）A.𝑦=√𝑥2+1B.𝑦=2−𝑥C.𝑦=𝑥−1−1D.𝑦=1+𝑥−37.函数𝑦=log2(𝑥+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为（）A.𝑦=log2(𝑥+1)B.𝑦=log2(𝑥+3)C.𝑦=log2(𝑥+2)−1D.𝑦=log2(𝑥+2)+18.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，公差𝑑≠0，𝑎2，𝑎3，𝑎6成等比数列，则𝑑=（）A.1B.−1C.−2D.29.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，这2个数都是偶数的概率为（）A.310B.15C.110D.3510.圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−6𝑦−6=0的半径为（）A.√10B.4C.√15D.1611.曲线3𝑥2−4𝑦2=12的焦距为（）A.27B.23C.4D.212.已知抛物线𝑦2=6𝑥的焦点为F，点A(0，−1)，则直线AF的斜率为（）A.32B.−32C.−23D.2313.若1名女生和3名男生排成一排，则该女生不在两端的不同排法共有（）A.24种B.12种C.16种D.8种14.已知平面向量𝒂=(1，𝑡)，𝒃=(−1,2)，若𝒂+𝑚𝒃平行于向量(−2,1)，则（）A.2𝑡−3𝑚+1=0B.2𝑡+3𝑚+1=0C.2𝑡−3𝑚−1=0D.2𝑡+3𝑚−1=015.函数𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−3)在区间[一𝜋3，𝜋3]的最大值是（）A.0B.√3C.2D.−116.函数𝑦=𝑥2−2𝑥−3的图像与直线𝑦=𝑥+1交于A，B两点，则|AB|（）A.2√13B.4C.√34D.5√217.设甲：𝑦=(𝑥)的图像有对称轴;乙：𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的必要条件但不是充分条件第Ⅱ卷(非选择题，共65分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)18.过点(1，−2)且与直线3𝑥+𝑦−1=0垂直的直线方程为.19.掷一枚硬币时，正面向上的概率为12，掷这枚硬币4次，则恰有2次正面向上的概率是.20.已知𝑠𝑖𝑛𝑥=−35且𝑥为第四象限角，则𝑠𝑖𝑛2𝑥=.21.曲线𝑦=𝑥2−𝑒2+1在点(0,0)处的切线方程为.三、解答题(本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤)22.(本小题满分12分)已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=23(4𝑛−1).(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑎𝑘=128,求𝑘.23.(本小题满分12分)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=30°，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3。求(1)𝑠𝑖𝑛𝐶;(2)𝐴𝐶.24．(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−5𝑥−1.求(1)𝑓(𝑥)的单调区间;(2)𝑓(𝑥)零点的个数.25。(本小题满分13分)已知椭圆𝐶的长轴长为4，两焦点分别为𝐹1(−3,0)，𝐹2(3,0)(1)求𝐶的标准方程；(2)若𝑃为𝐶上一点，|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2，求𝑐𝑜𝑠∠𝐹1𝑃𝐹2.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拔】本题考查了集合的运算的知识点.【应试指导】𝐴𝑈𝐵={2,4,8}𝑈{2,4,6,8}={2,4,6,8}2.【答案】C【考情点拨】本题考查了一元二次不等式的解集的知识.【应试指导】𝑥2−2𝑥0→𝑥(𝑥−2)0→0𝑥2，故解集为{𝑥|0𝑥2}3.【答案】D【考情点拔】本题考查了函数图像的平移的知识点.【应试指导】曲线𝑦=−2𝑥的对称中心是原点(0，0)，而曲线𝑦=21−𝑥是由曲线𝑦=−2𝑥向右平移1个单位形成的，故曲线𝑦=21−𝑥的对称中心是(1,0)。4.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的单调性的知识点.【应试指导】A、D两项在(0，+∞)上为减函数,C项在(0，+∞)上不是单调函数.5.【答案】A【考情点拨】本题考查了三角函数的周期的知识点.【应试指导】最小正周期𝑇=𝜋𝜔=𝜋2.6.【答案】A【考情点拨】本题考查了函数的奇偶性的知识点.【应试指导】A项，𝑦=𝑓(𝑥)=√𝑥2+1，则𝑓(−𝑥)=√(−𝑥)2+1=√𝑥2+1=𝑓(𝑥),故𝑦=√𝑥2+1为偶函数.7.【答案】D【考情点拔】本题考查了函数图像的平移的知识点.【应试指导】函数𝑦=log2(𝑥+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为𝑦−1=log2(𝑥−0+2),即𝑦=log2(𝑥+2)+1.8.【答案】C【考情点拨】本题考查了等差数列和等比数列的知识点.【应试指导】{𝑎𝑛}为等差数列，𝑎1=1，则𝑎2=𝑎1+𝑑，𝑎3=𝑎1+2𝑑，𝑎6=𝑎1+5𝑑。又因𝑎2，𝑎3，𝑎6成等比数列，则𝑎32=𝑎2∙𝑎6，即(1+2𝑑)2=(1+𝑑)(1+5𝑑)，解得𝑑=0(舍去)或𝑑=−2，故选C.9.【答案】C【考情点拨】本题考查了概率的知识点.【应试指导】这2个数都是偶数的概率为𝑃=𝐶22𝐶52=110.10.【答案】B【考情点拨】本题考查了圆的方程的知识点.【应试指导】圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−6𝑦−6=0可化为(𝑥+1)2+(𝑦−3)2=16，故圆的半径为4.11.【答案】A【考情点拨】本题考查了双曲线的焦距的知识点.【应试指导】3𝑥2−4𝑦2=12可化为𝑥24−𝑦23=1,即𝑎2=4，𝑏2=3，则𝑐=√𝑎2+𝑏2=7，则焦距2𝑐=2√7.12.【答案】D【考情点拨】本题考查了抛物线的焦点的知识点.【应试指导】抛物线𝑦2=6𝑥的焦点为𝐹(32,0),则直线𝐴𝐹的斜率为𝑘=0−(−1)32−0=23.13.【答案】B【考情点拔】本题考查了排列组合的知识点.【应试指导】该女生不在两端的不同排法有𝐶21𝐴33=12(种).14.【答案】B【考情点拨】本题考查了平行向量的知识点.【应试指导】𝒂+𝑚𝒃=(1，𝑡)+𝑚(−1,2)=(1−𝑚,𝑡+2𝑚)，又因𝒂+𝑚𝒃平行于向量(−2,1)，则1∙(1−𝑚)=−2∙(𝑡+2𝑚)化简得:2𝑡+3𝑚+1=0.15.【答案】C【考情点拔】本题考查了三角函数的最值的知识点.【应试指导】当𝑥=𝜋9时，函数𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−3)取最大值，最大值为2.16.【答案】D【考情点拔】本题考查了平面内两点间的距离公式的知识点.【应试指导】由{𝑦=𝑥2−2𝑥−3𝑦=𝑥+1得{𝑥=−1𝑦=0或{𝑥=4𝑦=5即𝐴(−1,0),𝐵(4,5),则|𝐴𝐵|=√(−1−4)2+(0−5)2=5√2.17.【答案】D【考情点拨】本题考查了充分条件和必要条件的知【应试指导】图像有对称轴的不一定是偶函数，但偶函数的图像一定有对称轴𝑦轴，故选D.一、填空题18.【答案】𝑥−3𝑦−7=0【考情点拨】本题考查了直线方程的知识点.【应试指导】因为所求直线与直线3𝑥+𝑦−1=0垂直，故可设所求直线方程为𝑥−3𝑦+𝑎=0；又直线经过点(1，−2)，故1−3×(−2)+𝑎=0，则𝑎=−7，即所求直线方程为𝑥−3𝑦−7=019.【答案】38【考情点拨】本题考查了贝努利试验的知识点.【应试指导】恰有2次正面向上的概率是𝑃=𝐶42(12)2(1−12)4−2=38.20.【答案】−2425【考情点拨】本题考查了三角函数公式的知识点.【应试指导】𝑥为第四象限角，则𝑐𝑜𝑠𝑥=45故𝑠𝑖𝑛2𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=−2425.21.【答案】𝑥+𝑦=0【考情点拨】本题考查了导数的几何意义的知识点.【应试指导】根据导数的几何意义，曲线在(0,0)处的切线斜率𝑘=𝑦′|𝑥=0=−1，则切线方程为𝑦−0=−1·(𝑥−0)，化简得:𝑥+𝑦=0.三、解答题22.(1)𝑆𝑛−1=23(4𝑛−1−1),则𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=23(4𝑛−1)−23(4𝑛−1−1)=22𝑛−1.(2)𝑎𝑘=22𝑘−1=128=27,∴2𝑘−1=7,∴𝑘=4.23.(1)∵𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶∴𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶∙𝐴𝐵=√33.(2)由题意知，𝐶90°，故𝑐𝑜𝑠𝐶=√1−𝑠𝑖𝑛2𝐶=√1−(√33)2=√63,𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛[180°−(𝐴+𝐶)]=𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=3+√66,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴∙𝑠𝑖𝑛𝐵=√3+√2.24.(1)𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑥−5,令𝑓′(𝑥)=0,得:𝑥1=1,𝑥2=−53,当𝑥1或𝑥−53时，𝑓′(𝑥)0;当-3𝑥1时,𝑓′(𝑥)0.故𝑓(𝑥)的单调增区间为(−∞，−53)和(1，+∞)，单调减区间为(−3,1)(2)𝑓(−53)0,𝑓(1)0∴𝑓(𝑥)有3个零点25.(1)由题意可知，𝑎=2，𝑐=3，∴𝑏=√𝑎2−𝑐2=1,∴椭圆的标准方程为𝑥24+𝑦2=1.(2){|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=4|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2,解得:|𝑃𝐹1|=3,|𝑃𝐹2|=1,由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠∠𝐹1𝑃𝐹2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=32+1−(2√3)22×3×1=−13