2014全国大学生数学建模比赛A题国一优秀论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安交通大学参赛队员(打印并签名)：1.李2.佑3.辰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要航天登月探测器的着陆轨道与控制策略是使其成功登月的必要保障。为了探求其规律性，本文以力学（万有引力定律、开普勒定律、能量守恒定律等）和天体物理学知识为理论基础，结合动力学方程、最优化显示制导，借助软件对软着陆过程进行了系统分析研究。对于问题一，在合理假设的基础上，利用二体问题、解析几何知识和微元法，确定着陆准备轨道曲线方程)cos(112eear，并求出近月点坐标为01N,15km19.05W,29.，远月点坐标为.01S,100km160.95E,29。再运用能量守恒定律和开普勒定律，计算出近月点的速度为1.6922km/s1mV,远月点的速度为1.6139km/sVm2。对于问题二，在探测器软着陆过程中，通过多项式制导得到径向位移方程：623410753.11337.01065.1tttr再引入哈密顿函数，得到最优化显式制导模型，利用Matlab得到软着陆曲线，如图32所示。可得降落时间s547燃耗最优值为kg1395。粗避障使用激光扫射雷达的障碍检测方法，采集高程图拟合此区域的地形，对着陆区的障碍进行排除，确定安全着陆区域。精避障基于粗避障选定区域，建立中心螺旋式的安全区域搜索模型，使用如下方程：2020)()2tan(jkIkMhDiiz提取出距离预定着陆点最近的安全着陆点147,244。对于问题三，通过建立制导控制误差模型，对影响着陆制导精度的初始条件误差和导航与控制传感器误差进行了分析，同时获取了误差敏感系数矩阵，该敏感性分析全面的反映了主制动段的性能。关键词二体问题、多项式制导、哈密顿函数、最优化显式制导、中心螺旋式搜索2问题重述月球是地球唯一的天然卫星。人类掌握航天技术之后，探测地外天体的首选目标就是月球，因此中国航天局进行嫦娥三号在月面软着陆。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能依靠变推力发动机，所以设计精准的着陆轨迹和推力控制是关键。根据问题A的背景与参考资料（附件1）和嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求（附件2），请研究一下问题：（1）根据附件1，解决着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向问题。（2）根据附件2，结合附件1，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相信的误差分析和敏感性分析。模型假设1.假设月球为密度均匀的球体，当嫦娥三号脱离环月卫星轨道进入椭圆轨道时仅相当于质点仅受到月球的引力，忽略地球对其影响，这样月球与嫦娥三号运行可构成二体问题。2.当嫦娥三号处于椭圆轨道时，不考虑月球扁平率，太阳光压等因素的影响。3.当嫦娥三号由着陆轨道开始软着陆时，忽略其他干扰因素，仅受月心引力和主发动机推力的作用，而且发动机为常力液体发动机，处于最优的理论控制系统。4.忽略月球自转，月球重力加速度为常值。5.着陆器所容忍的阀值由地面的最大粗糙度及最大坡度所决定。6.着陆器为正方形，安全着陆所需的最小区间也为正方形。7.在进行误差分析时取得所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务特性。8.需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型的误差值。常量符号月球基本参数月球平均半径km013.1737月球质量kg22103477.7远地点km406610近地点km356330平均赤道半径km1738000月心引力常数23627.4961sm月球形状扁率7256.9631逃逸速度skm38.2轨道倾角58.28~28.18近地点辐角15.318平均公转周期32.27天3建立模型一、问题一分析1.1嫦娥三号近月点与远月点状态分析月球探测器轨道运动按近似分析方法分为两个阶段：一个是以地球引力为主的阶段；另一个是以月球引力为主的阶段。两者以月球相对于地球的作用球半径为6.6万公里的球面为分界。当航天器与月球的距离大于6.6万公里时，认为航天器受到的力主要是地球引力，并近似地认为航天器相对地球的轨道是开普勒轨道。当航天器进入月球作用球时,认为航天器是相对于月球运动。如果将进入月球作用球的速度换算成相对月球的速度，这个速度往往超过月球的脱离速度，因而航天器相对月球的轨道是双曲线。两个阶段轨道连接起来就是月球探测器的轨道。这种近似方法称为双二体问题。如果两个阶段的轨道都用航天器轨道摄动的方法解出，可以得到比较精确的轨道。月球探测器轨道依顺序可以分为停泊轨道和过渡轨道,过渡轨道一直延伸到月球附近。此后,不作机动飞行时便分为击中月球轨道和绕飞轨道；作机动飞行时，可成为月球卫星轨道或在月球表面软着陆。1.2着陆准备轨道方程的建立根据理论力学可知，若将月球看成一个密度均匀分布的正球体，则它对卫星的吸引可等效于一个质点，这样月球和卫星就构成一个二体系统。可在月心惯性坐标系考虑卫星相对月心的运动。卫星位置矢量为zyxr,,，卫星速度矢量为zyxr,,，万有引力常数为G，月球质量为M，卫星质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律，相应的运动方程rrrmMGr2式中，为了简便记mMG是月球引力常数。为了计算方便，可选取轨道计算单位，即取μ=1，这样方程就可写成rrrr21，此方程（对应的是一有心力问题，不仅是可积的，这里的可积是指上述微分方程的解可以写成求积形式），而且可以具体给出六个积分的完整表达式，下面先给出二体问题的常用积分，在此基础上进行讨论。由于卫星是平面运动，而相应的平面已由,i确定，可在平面内用平面极坐标,r来表示其运动方程，运动方程式1.2的径向和横向两个分量各为22rrr0122rdtdrrr由此给出一积分hr24关于右端积分常数h,由空间极坐标（三个方向的单位矢量分别记作^^^^,,,kkr即前面的^R）中r和r的表达式rrrrrrr^^,，立即可得Rrkrrr2^2这表明hr2，积分就是面积积分的标量形式。方程8.2和10.2构成了平面运动系统对应的三个常微分方程，还需寻找三个独立积分。上述方程的特点是不显含自变量t，由常微分方程的基本知识可知，对于这类方程可通过分离t的方法使方程降一阶，转而讨论,r的变化规律。为此，记22''',drdrddrr利用10.2式得)12(''22'322'2rrrrrhdrddtrdrrrhddrdtdrr将这一关系代入方程9.2即可给出r对的二阶方程，但相应的方程不便于求解。如果在降阶的同时，作变换：ur1，则有''22'uuhrhudduhr利用这一关系即可得到u对的一个二阶常系数线性方程2''huu该方程给出一轨道积分)cos(112ehure和即两个新积分常数。这是一圆锥曲线，在一定条件下它表示椭圆，中心M（即坐标原点O）在其一个焦点上。考虑实际应用的需要，这里首先讨论椭圆运动的情况。既然是椭圆，可令221heap那么积分又可写成221eapr)cos(112eear积分常数h由a代替。p是椭圆半通径，a是半长径，e是偏心率，对椭圆而言，有10,0ea。5再根据第二问得到的水平位移km626.391，然后经纬度与距离的换算关系如此式：ABBABAdcoscoscossinsin1cos12.111计算得到近月点的位置01N,15km19.05W,29.，远月点的位置.01S,100km160.95E,29。1.3嫦娥三号近月点与远月点速度求解在本题中嫦娥三号所在的椭圆轨道平面上近月点A高为km15，远月点B高为km100。设1mr为近月点月心距，2mr为远月点月心距。kmRrmm1753151kmRrmm18381002512.0212mmmrrrk488.0211'mmmrrrk以1mV和2mV分别表示经过这两点的速度，由速度沿轨迹切线方向，可知1mV和2mV方向均与椭圆长轴垂直，在BA,两点分别取极短相等时间t，则22211121,21mmmmmmtrVStrVS由开普勒第二定律21mmSS得：1221mmmmrrVV行星运动总机械能等于其动能和引力势能之和，故行星经BA,两点机械能为22212121,21mmBmmArMmGmVErMmGmVE由能量守恒定律，得BAEE,所以skmrGMkVmm692.117534901512.022211'1skmrGMkVmm613.122'2二、问题二分析：62.1探测器软着陆过程分析：嫦娥三号探测器从15km近月点到最终着陆过程设计分为6个阶段，着陆过程如图示。图2-1着陆六个阶段示意图1）.着陆准备段：着陆准备段的主要任务是在动力下降点火，修正地面注入的点火时刻及对应轨道，计算点火目标姿态并调整到位。2）.主减速段：主减速段从距月表面高度约为km15到约km3。该段主要任务是软着陆制动，高度下降至约km3。根据该任务的要求，其轨迹应是利用主发动机减速自然形成的平缓下降轨迹，航程大约km430。3）.快速调整段：距月面高度从km3到约km4.2，该段主要任务是快速衔接主减速段和接近段。快速姿态机动到接近段入口姿态，发动机推力同步减到低推力水平。根据该任务的要求，其轨道应是利用主发动机减速形成的平缓下降轨迹，高度下降大约m600，航程大约km1。4）.悬停段：距月面高度m100左右，该段主要任务是对着陆区域的精障碍检测。由变推力发动机抵消着陆器重力，保持着陆器处于悬停状态，利用三维成像敏感器对着陆区进行观测，选择出安全着陆点。5）.避障段：避障段从距月面高度约m100到约m30，该段主要任务是精避障和下降。根据悬停段给出的安全着陆点相对位置信息，着陆器下降到着陆点上方m30，相对月面下降速度为预设值，水平速度接近零，轨迹为斜向下降到着陆点。避障段的精障碍检测主要识别粗糙度和坡度，根据这两项综合确定安全着陆点。6）.缓速下降段：距月面高度m30到伽玛关机敏感器信号生效，该段主要任务是保证着陆器平稳缓速下降到月面，着陆月面的