平面与平面的位置关系【最新PPT课件】

1．2点、线、面之间的位置关系1．2.4平面与平面的位置关系学习目标预习导学典例精析栏目链接课标点击1．了解二面角及其平面角的概念．2．掌握面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接判定两平面的位置关系在以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④平面α内的两条相交直线和平面β内的两条相交直线分别对应平行，则α与β平行．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：需要对四个命题一一作出真假判断，而判断时要应用两个平面平行的定义，因此要严格对照定义，不满足定义的则应从反面进行思考，即举反例进行判断．解析：对于①，如下图(1)，正方体ABCDA1B1C1D1的面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E、F，连EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．学习目标预习导学典例精析栏目链接对于②，在正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故②是错的．对于③，如上图(2)，平面α∩平面β＝l，△ABC⊂平面α，A、B、C三点到平面β的距离有可能相等，但α与β不平行，故③是错的．对于④，命题是正确的，故填④.答案：④学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系的有关命题的真假，因此我们要善于灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系．另外像判定直线与直线、直线与平面位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法．►变式训练1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________．解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．答案：平行或相交学习目标预习导学典例精析栏目链接两平面平行的判定在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD.分析：有两种方法可行：①由于M、N、P都为中点，故添加B1C、B1D1作为联系的桥梁；②易证AC1⊥平面PMN.证明：方法一如图(1)，连接B1D1、B1C.∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.学习目标预习导学典例精析栏目链接又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二如图(2)，连接AC1、AC.∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，AC∩CC1＝C，∴CC1⊥BD.∴BD⊥面ACC1.∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：本例的证明体现了证明面面平行的两种常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证线面平行或线线平行．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．如图，已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点．求证：平面DEF∥平面SAB.学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F.∴平面DEF∥平面SAB.学习目标预习导学典例精析栏目链接两平面平行的性质定理如下图，已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、γ相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面β分别相交于点N、M.求证：四边形MBNQ为平行四边形．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：要证四边形MBNQ为平行四边形，只需证明两组对边分别平行即可，而四边形的两组对边所在直线分别为两个平面的交线，可以由面面平行的性质定理解决．证明：连接AP.∵α∥β，平面ACP∩平面α＝AP，平面ACP∩平面β＝BM，∴BM∥AP.同理QN∥AP.∴BM∥QN.同理可证BN∥MQ.∴四边形MBNQ为平行四边形．学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．证明线线平行现在主要有以下几种方法：①定义法；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理以及性质定理的几个推论．(2)利用面面平行的性质定理判定两直线平行的程序是：①先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；②判定这两个平面平行；③再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；④由定理得出结论．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练3．如图，正方体ABCDA′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：作FH∥AD交AB于点H，连接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC.又FH⊄平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，∴FH∥平面BB′C′C.由FH∥AD，可得BFBD＝BHBA，又BF＝B′E，BD＝AB′，∴B′EAB′＝BHBA.∴EH∥B′B.又EH⊄平面BB′C′C，B′B⊂平面BB′C′C，∴EH∥平面BB′C′C.又EH∩FH＝H，∴平面FHE∥平面BB′C′C.又∵EF⊂平面FHE，∴EF∥平面BB′C′C.学习目标预习导学典例精析栏目链接利用二面角解决相关问题如右图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O.求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．分析：分别作出相应角的平面角，求其平面角的大小．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BCC′B′，OC⊂平面BCC′B′，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，且AB∩OB＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)作OE⊥BC，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.故∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝12，AE＝AB2＋BE2＝12＋122＝52，∴tan∠OAE＝OEAE＝55.(3)由(1)知OC⊥平面AOB，又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角为90°.学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角([0°，90°])、直线和平面所成的角([0°，90°])、二面角([0°，180°])三种．求角度问题解题的一般步骤是：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角．求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案．学习目标预习导学典例精析栏目链接平面与平面垂直的性质及其应用如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来证明．证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G.同理可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA∩PC＝P.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练4．(2014·北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．(1)分析：(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如下图，取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，学习目标预习导学典例精析栏目链接所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1.且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．学习目标预习导学典例精析栏目链接所以C1F∥EG，又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解析：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.