常见求定积分与不定积分的方法11

宜宾学院11级毕业论文常见求定积分与不定积分的方法学院:数学学院年级:11级励志班学号:110203001姓名:丁云红专业:数学与应用数学指导老师:刘金兴二零壹伍年六月2目录摘要………………………………………………………………………2关键词……………………………………………………………………2前言………………………………………………………………………21.定积分…………………………………………………………………21.1定义…………………………………………………………………21.2方法…………………………………………………………………31.2.1定义法……………………………………………………………31.2.2定积分法则………………………………………………………31.2.3定积分区间性质求解定积分……………………………………41.2.4积分中值定理……………………………………………………61.2.5牛顿—莱布尼茨公式……………………………………………71.2.6定积分换元积分法………………………………………………81.2.7定积分分部积分法………………………………………………112.不定积分………………………………………………………………132.1定义…………………………………………………………………132.2性质…………………………………………………………………132.3方法…………………………………………………………………142.3.1不定积分公式法…………………………………………………142.3.2不定积分换元积分法……………………………………………162.3.3不定积分分部积分法……………………………………………202.3.4有理数和可化为有理数的不定积分求解方法…………………22参考文献…………………………………………………………………283摘要本文介绍了定积分与不定积分的概念性质，主要总结了求解定积分与不定积分常见的方法：积分基本法则、积分中值定理、牛顿—莱布尼茨公式、直接积分法、换元法、分部积分法，并结合实际例题加以说明，以便于在解题时能快速选择出最佳的解题方法。关键词定积分，积分法，换元法，分部积分法前言微积分是高等数学中非常重要的一个知识部分，其中定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题，定积分和不定积分的计算也是大学生要学习的基础数学知识，是要学习和掌握的．众所周知，在学习数学计算时不但追求准确性，还有快速性.同样的对于一个积分的计算，我们首先要求要有准确性，其次是要有快速性，而这两个目的的实现就需要正确的方法和巧妙的技巧．本文主要以求解定积分和不定积分的各种常见方法为主线，对其进行分别概述以及相应的举例说明，从而得出对于面对不同的题型时运用合适的方法来快速解决问题.1.定积分1.1定义设)(xf是定义在闭区间ba,上的一个有界函数，对于ba,的任意取分点niix0，作成一种划分bxxxxaPn210:，并任意取点iiixx,1.记小区间iixx,1的长度为1iiixxx，并令)(max1inix，若当0时，极限iniixf10)(lim存在，且极限值即与划分P无关，又对i的取法无关，则称)(xf在ba,上Riemann可积。和式iniinxfS1)(称为Riemann和，其极限值I称为)(xf在ba,上的定积分，记为badxxfI)(，4这里a和b分别被称为积分的下限和上限。1.2.方法1.2.1定义法已知函数)(xf在],[ba上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[ba的一个特殊分法P（如等分法等），在kkxx,1上选取特殊的k（如取k是kkxx,1的左端点、右端点、中点等），做出积分和，然后再取极限，就得函数)(xf在],[ba的定积分．例11用定积分定义计算dxx102)1(解：21x在1,0上连续，故该定积分一定存在，取1,0上的特殊划分法，将1,0等分为n个小区间，则分点为inxi1，),,2,1,0(ni。小区间iixx,1的长度nxxxiii11，在每个子区间iixx,1上选取inxii1，则和式niniiniininnxf13212111)1(1)()12)(1(6113nnnn2261321nnn，另n，34)61321(lim)(lim)1(221102nnnxdxxniniin.从上面的例题可知，按照定积分的定义计算定积分要进行特殊的划分和复杂的计算，在一般解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．1.2.2定积分法则积分的次序：abbadxxfdxxf)()(定义零：0)(aadxxf定义常倍数：babadxxfkdxxkf)()(任何数k5abbadxxfdxxf)()(1k和与差：baabbadxxgdxxfdxxgxf)()()()(可加性：cacbbadxxfdxxfdxxf)()()(最大－最小不等式：若fmax和fmin分别是f在ba.上的最大值和最小值，则)(max)()(minabfxfabfba.控制：在ba.上dxxgdxxfxgxfbaba)()()()(，在ba,上0)(0)(dxxfxfba（特殊情形）以上法则在求解定积分方法中运用十分广泛和常用，对求解定积分的复杂度减轻了程度。1.2.3定积分区间性质求解定积分设)(xf在对称区间aa,上可积，)1(若)(xf是偶函数，则成立aaadxxfdxxf0)(2)(；)2(若)(xf是奇函数，则成立0)(aadxxf.)3(aaaadxxfdxxfdxxf)()()(00；例2]2[计算dxxx2112)1(.分析这道题看起来比较的复杂，在做题的时候首先要把被积函数进行整理，然后再根据定积分区间性质对称区间上定积分公式进行计算.解：首先将被积函数进行整理,得dxxxxxdxxx11222211-2)121(1）（dxxxdx11211121由于dxxx11212的被积函数为奇函数，而且积分区间1.1为对称区间，由公式(1)知012112dxxx.6所以，2)1(112112dxdxxx.例3计算112dxeexx分析显然112dxeexx的被积函数2xxee是偶函数，可以根据对称区间上定积分公式进行求解.解：由公式(2)得，1011222dxeedxeexxxxdxeexx10)(dxedxexx10101010xxee)11(1eeee1例4]3[计算dxx44sin11ππ.解：由公式(3)可得，dxxdxxdxx444040sin11sin11sin11ππππ故dxxdxxdxx404044-sin11sin11sin11ππππdxxx40)sin11sin11(πdxx402cos2πdxx402sec2π402πtgx2.从上面例子可知，上述三题的解法在于利用了对称区间上定积分的性质来巧妙的简化了定积分的计算，在一定的程度上减少了计算量和工作量；因此，记住7这些性质对我们求解定积分题是非常有帮助的．1.2.4积分中值定理1.2.4.1积分第一中值定理设)(xf和)(xg都在ba.上可积，)(xg在ba.不变号，则存在Mm,，使得dxxgdxxgxfbaba)()()(，这里M和m分别代表)(xf在ba.的上确界和下确界。特别地，若)(xf在ba.上连续，则存在ba,，使得dxxgfdxxgxfbaba)()()()(.1.2.4.2积分第二中值定理设)(xf在ba.上可积，(1)若函数)(xg在ba.上单调递减，且0)(xg，则存在ba,，使得dxxfagdxxgxfaba)()()()(.(2)若)(xg在ba.上单调递增，且0)(xg，则存在ba,，使得dxxfbgdxxgxfbba)()()()(.(3)若)(xg在ba.上单调，则ba,，使得dxxfagdxxfagdxxgxfbaba)()()()()()(.1.2.4.3定积分的中值定理设)(xf在ba.上连续，则在ba.中存在某点c，使得dxxfabcfba)(1)(.例51求证0sinlim20xdxnnπ.证明：对π0，由积分第一中值定理，xdxxdxxdxnnn22-2-020sinsinsin0ππππ2sin)2-2(2-sin2-πππππnn822-sin2πππn.由于02-sinlimπnn，故对上述0，0N，当Nn时，有ππ12-sinn.从而22-sin2ππn.所以，当Nn时，有xdxn20sin0π，由的任意性，可知0sinlim20xdxnnπ.1.2.5牛顿—莱布尼茨公式若函数)(xf在ba.上连续，且存在原函数F，即)()(xfxF，bax,，则)(xf在ba.上可积，且)()()(aFbFdxxfba.上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也常写为babaxFdxxf)()(.例6求dxx41-3)1(的值.解：13x的最简单的反导数是xx44，因此，41441-34)1(xxdxx4368)141()444(4.求解dxxfba)(定积分，若能直接写出被积函数的原函数的可以运用牛顿—莱布尼茨公式能快速的求解。步骤为：1.求f的一个反导数F,任何一个反导数都可以，一般最好选择最简单的一个，方便计算；2.计算)()(aFbF，得出数便9是dxxfba)(的值.例71求定积分dxxn102)1(.解：令dxxInn102)1(，则dxxxInn)1()1(21102dxxxdxxnn121021102)1()1(nnxxdnI1021)1(211021021)1(21)1(21nnnxxndxxdnInnInI211.所以1122nnInnI.而1)1(01020dxxI.故!)!12(!211)1(2)1(2122nnnnnnInn.这道题运用了定积分的法则和牛顿—莱布尼茨公式，使得复杂的计算变得简化，在定积分求解中，灵活的运用法则和公式也能给求解定积分带来简便。1.2.6定积分换元积分法换元积分法是在积分过程中通过引入适当的变量来简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，这样可以简化计算．若函数xf在ba,上连续，)(t满足在，上可积，且满足baba,),(,,，则有定积分换元公式：dtttfdxxfba))()(()(换元的简单情况就是凑微分法，同时，它也是其他方法的基础和优先思路．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应变换积分上下限，这样可以简化10计算．利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式tx，否则可能使变换后的积分更加复杂，难以计算，然而我们没有一般的原则，只能依据被积函数的特点来确定．例8]5[求axa022.解：应用定积分换元积分公式令,cos,sintdtadxtax,当0x时，0t；当ax时，2tdttadxxa