将军饮马系列---最值问题

1/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.AB、分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，RrABRr当且仅当ABO、、三点共线时能取等号．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若AB、在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求．若AB、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．“将军饮马”系列最值问题知识回顾知识讲解2/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC与'''ABC关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．3/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化MMMMMMMMCCCCCCCCAPPPPPPPPBBBBBBBAAAAAABAPAPBBC…常见模型：（1）PAPB最小l同侧图1A'PBAlABP图2异侧4/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题（2）①PAPB最小ABP图4同侧l异侧l图5PBAA'ABP图6l异侧②PAPB最大PBAl同侧异侧lA'BAP【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P使的直线l为APB的角平分线（3）周长最短类型一类型二类型三ABPA'CBOA''A'ANMB'A'BA（4）“过河”最短距离类型一类型二NMA'BAMNlB''B'NMBA（5）线段和最小5/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题l2l1l2l1FQQPPEFEBABA（6）在直角坐标系里的运用A''A'B'A'A'NMFEPBABABAAPE=BPEEEF=1A''A'B'A'B'A'NMFEPBABABA【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线．同步练习6/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【变式练习】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．ABMNCABMNC【例2】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．7/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题ABMNC【例4】如图，45AOB，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．【例5】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小．证明：AMANBMBN．QONMPBA【例6】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．BOAM【例7】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||AMBM最小值和最大值．8/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题lBA【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，8AB，M是DC上的一点，且2DM，N是AC上的一动点．求（1）DNMN的最小值与最大值．（2）DNMN的最小值与最大值．DCNMBADCNMBA【例8】如图ABC△，DEF、、分别是ABBCAC、、边上的点（均不与点ABC、、重合），记DEF△的周长为p，请作出周长最小的DEF△．ABC【习题1】如图，在等腰RtABC中，3CACB，E的BC上一点，满足2BE，在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小．EPBCA课后练习9/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC的中点，在对角线AC求作一点P使得PMPN的值最小．PNMDCBA【习题3】如图，在锐角ABC△中，42AB，45?BAC°，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是____．ABCDMN【习题4】已知⊙O的直径CD为4，AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值．ODCBA【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6PEBADCPEBADCF10/10同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知20A，关于直线l的对称点'A的坐标为20，，请在图中分别标5325BC，、，关于直线l的对称点''BC、的位置，并写出它们的坐标：'B_____'C____；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点Pab，关于第一、三象限的角平分线l的对称点'P的坐标为_____（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点1314DE，、，，试在直线l上找一点Q，使点Q到DE、两点的距离之和最小．