一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

一、选择题1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则（）A．B．C．D．2、下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ．只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A．1B．12C．13D．25二、填空题6、设、是方程的两根，则代数式=。7、已知关于一元二次方程有一根是，则。三、计算题8、已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．9、解方程：四、综合题10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线平分∠ABC，求直线的解析式；（3）若直线产（0）交（1）中抛物线于两点，问：为何值时，以为边的正方形的面积为9？14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求证：；（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．15、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．五、简答题16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是．(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长17、已知关于的一元二次方程：．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．18、已知抛物线y=ax2－x+c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．19、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式.（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线.（1）若，求的值；（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.参考答案一、选择题1、C2、B3、B4、考点：二次函数图象与系数的关系。分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．解答：解：根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∴abc＜0，故②正确；③a﹣2b+4c＜0；∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c，∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0，∴﹣4b+4c=﹣4a，∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：①②③三个．故选：A．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．5、C二、填空题6、17、4三、计算题8、解：（1），，无论取何值，，所以，即，方程有两个不相等的实数根．（2）设的另一个根为，则，，解得：，，的另一个根为，的值为1．15．9、解：由题意得：由方程（2）得：代人（1）式得解得，或．代人得或四、综合题10、设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，………………………………5分两式相加，得，即，所以，或………………………………10分解得或又因为所以；或者，故，或29.………………………………………………20分11、解：（1）对称轴是，∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，∴点B（3，0）；（2）点A（1，0），B（3，0），∴AB=2，∵CP⊥对称轴于P，∴CP∥AB，∵对称轴是x=2，∴AB∥CP且AB=CP，∴四边形ABPC是平行四边形，设点C（0，x）（x＜0），在Rt△AOC中，AC=，∴BP=，在Rt△BOC中，BC=，∵，∴BD=，∵∠BPD=∠PCB且∠PBD=∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴BP2=BD•BC，即=∴，∵点C在y轴的负半轴上，∴点C（0，），∴y=ax2-4ax-3，∵过点（1，0），∴a-4a-3=0，解得：a=．∴解析式是：12、解：（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0∴m＜-此时，y的图象与x轴有两个交点当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0∴m=-此时，y的图象与x轴只有一个交点当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0∴m＞-此时，y的图象与x轴没有交点∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.（评分时，考生未作结论不扣分）（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4+=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7∵+=5，∴2m2-10m-7=5，∴m2-5m-6=0解得：m1=6，m2=-1∵m＜-，∴m=-1∴y=x2+3x+2令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）又y=x2+3x+2=（x+）2-，∴顶点M的坐标为（-，-）设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b则2=bk=-=k+b，b=2∴所求的解析式为y=x+213、解：（1）直线交轴于点，交轴于点。由此，得点坐标为，点坐标为。由于抛物线过，，故可设抛物线解析式为。∵抛物线过点，∴，∴∴抛物线解析式为，即。（2）过点作，交直线于点∵平分，∴∴，∴点坐标为设的解析式为，∴解这个方程组，得∴直线的解析式为。（3）设两点的横坐标分别为由题意知，是方程，即的两根，则∵∴，∴时，以EF为边的正方形的面积为9。14、（1）令，得，令，得，，（２）如图，，是正方形，，（３），∽，设，则，，＝∴当时，有最小值715、考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．解答：解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，∴△ABD中AB边的高为4，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以AB＝3－(－1)＝4，∴△ABD的面积＝×4×4＝8；(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(2)可知OA＝1，∴点A对应点G的坐标为(3，2)，当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上．点评：这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．五、简答题16、解：由题意得：．(1)，，整理得：(不合题意，舍去)当时．是以为斜边的直角三角形；(2)若；则，，结果，；注；此问用根的判别式做也可以．若,则，解得：，当时，；当时，；若，同样时．：当时，；∴当或时．是等腰三角形，其周长为14或16注：不论或都说明是方程的一个根，也可以把代入方程解得值．17、（1）证明：是关于的一元二次方程，．当时，，即．方程有两个不相等的实数根．……..3分（2）解：由求根公式，得．或．，．，，．．即为所求．………7分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象．由图象可得，当时，．………9分18、（1）由题意得解得，．∴抛物线的解析式为．（2）令y=0，即，整理得x2+2x－3=0．变形为（x+3）（x－1）=0，解得x1=－3，x2=1．∴A（－3，0），B（1，0）．（3）将x=－l代入中，得y=2，即P（－1，2）．设直线PB的解析式为y=kx+b，于是2=－k+b，且0=k+b．解得k=－1，b=1．即直线PB的解析式为y=－x+1．令x=0，则y=1，即OC=1．又∵AB=1－（－3）=4，∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2，即△ABC的面积为2．19、解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1,4）∴设y=a(x-1)2+4由于抛物线过点B(0，3)∴3=a(0-1)2+4解得a=-1∴解析式为y=-(x-1)2+4即y=-x2+2x+3（2）作点B关于x轴的对称点E（0，-3），连接AE交x轴于点P.设AE解析式y=kx+b，则解得∴yAE=7x-3当y=0时，x=∴点P坐标为(，0)20、解：（1）方法一：由抛物线对称性可知，其与x轴的另一个交点为（-1,0），……1分∴.……………………………2分当=1时，解得.………………3分方法二：依题意得，，当=1时，，…………………………1分∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0），∴，∴…………………………………2分∴………………………………3分（2）当时，.………………4分理由如下：当时，.……