2015数学建模竞赛A题：太阳影子定位技术研究

1太阳影子定位技术的研究摘要本文针对太阳影子定位问题，通过运用天球模型和最小二乘法，研究了直杆太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等参数的关系，实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。针对问题一，在已知直杆长度的情况下，太阳影子长度和太阳高度角满足一个确定的函数关系。因此，我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度角。引入天球模型后，使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太阳的运动和位置，得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时间的函数关系，进而得到了影子长度与各参数的关系。之后，使用控制变量法分别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这5个参数的变化规律（见正文图5、6、7、8、9）。最后，运用该模型画出了天安门广场上3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见正文图10）。针对问题二，首先，我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之后进行数据标准化，消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假设采样点，将经度、纬度作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，在MATLAB中编程计算，得到的最小目标函数值𝑑=1.2981×10−7，该假设采样点为东经109°，北纬17°（见正文图11），其周边海南三亚市、越南沿海地区都可以认为是采样点的可能位置。针对问题三，题中虽然没有给出采样日期，但其整体思路与问题二是一致的。在选取假设采样点后，将经度、纬度和日期作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，在MATLAB中编程计算，得到的结果为：附件2中的采样点在东经79°，北纬43°，采样日期为6月12日；附件3中的采样点在东经107°，北纬28°，采样日期为11月25日。针对问题四，我们运用射影几何学建立模型对视频资料进行图像处理，从视频中以8:56:00为起点，每间隔两分钟取一帧画面，测量出该时刻的影子长度。最后我们得到了20组数据。结合问题二的模型，在MATLAB中编程计算，得到最优拟合结果为：东经100°，北纬14°附近区域，如泰国的曼谷。最后，当日期未知时，我们可以在得到影子长度之后采用问题三的模型进行求解。在MATLAB中编程计算，得到最优拟合结果为：东经106°，北纬0°附近区域，如新加坡、印度尼西亚的坤甸和战碑。关键字：天球模型最小二乘法射影几何学21问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？2模型的假设与符号的约定2.1模型的假设与说明（1）假设地球为一个规则的正球体；（2）文中仅考虑采样当年为平年的情况；（3）忽略大气层对太阳光线折射的影响；2.2符号的约定与说明符号符号的意义ℎ直杆的长度3𝑙影子的长度ℎ𝑠太阳高度角𝑃𝑁天球的北天极𝑃𝑆天球的南天极𝑃𝑁𝑃𝑆天球的天轴线δ赤纬Ω时角𝐴𝑠太阳方位角𝑇真太阳时𝐶𝑇北京时（东经120°的时间）𝐿𝐶经度订正𝐸𝑄时差3问题一模型的建立和求解3.1问题一的分析问题一要求我们分析直杆的太阳影子长度关于各个参数的变化规律，并画出影子长度的变化曲线。经验和常识告诉我们，物体太阳影子的长度与物体本身长度和太阳高度角这两个因素有关。因此，针对问题一，在已知直杆长度情况下，我们只需要建立模型分析太阳高度角的变化，进而得到影子长度的变化情况。3.2模型的建立3.2.1太阳高度角与影子长度的计算为了确定影子长度、直杆长度和太阳高度角三者的关系，我们可以用如下所示的模拟图来辅助分析。4图1图中ℎ表示直杆的长度，𝑙表示影子的长度，ℎ𝑠表示太阳高度角。则三者满足：𝑙=ℎtanℎ𝑠⁄3.2.2天球坐标系统的引入由于地球自转和公转等因素，某地的太阳高度角与该地的经度、纬度、日期和当天具体时间有关。为了更加确切地知道太阳高度角的变化情况，我们以地球为中心，建立天球模型来描述太阳的运动和位置。图2天球ℎ𝑙ℎ𝑠太阳光直杆影子夏至冬至5延长地轴线与天球相交的两点称为天极，𝑃𝑁为北天极，𝑃𝑆为南天极，𝑃𝑁𝑃𝑆即为天轴。在上述的天球模型中，我们假定地球不动，太阳沿着天球的黄道周而复始地绕地球运行[1]。为了确定太阳在各个时刻的位置，我们使用天球模型中的天球坐标系统来表示。在此处我们仅使用该坐标系统中的两种——地平坐标系和赤道坐标系。将地球上的经度、纬度坐标系扩展至天球，分别可以得到赤纬圈和时圈，这样一来就在天球上形成了我们需要的赤道坐标系，如下图所示：图3赤道坐标系图中δ表示赤纬，Ω表示时角。当确定了赤纬和时角时，我们就确定了太阳的位置。太阳赤纬𝛿是一个随季节变化的参数，可以看作是一个关于日期的一个函数,我们可以通过查阅《地面气象观测规范》[2]得到与日期对应的赤纬𝛿。以地平线为基圈建立地平坐标系，如下图所示：赤纬圈赤道面𝑃𝑁𝑃𝑆𝑄′(𝑁)𝑄(𝑆)𝛿Ω𝑂时圈子午圈太阳6图4地平坐标系图中ℎ𝑠表示太阳高度角，𝐴𝑠表示太阳方位角。我们用太阳高度角和太阳方位角来确定太阳在天球中的位置。3.2.3影子长度变化模型的建立基于天球模型坐标系的引入，我们可以在赤纬坐标系和地平坐标系下进行几何分析，得到太阳高度角的计算方法如下：sinℎ𝑠=sin𝜑·sin𝛿+cos𝜑·cos𝛿·cosΩΩ=(𝑇−12)×15°𝑇=𝐶𝑇+𝐿𝐶+𝐸𝑄其中𝑇表示真太阳时，𝐶𝑇表示北京时（东经120°的时间），𝐿𝐶为经度订正，𝐸𝑄为时差。在得到太阳高度角之后，结合影子长度、直杆长度和太阳高度角三者之间的关系，我们最终可以得到影子长度变化模型如下：𝑍𝑍′终圈子午圈ℎ𝑠𝐴𝑠7{𝑙=ℎtan𝐻𝑠⁄sinℎ𝑠=sin𝜑·sin𝛿+cos𝜑·cos𝛿·cosΩΩ=(𝑇−12)×15°𝑇=𝐶𝑇+𝐿𝐶+𝐸𝑄3.3分析影子长度关于各参数的变化规律通过模型的建立，我们已经知道太阳高度角与经度、纬度、太阳赤纬、地方时间有关。而太阳赤纬𝛿是一个随季节变化的参数，可以看作是一个关于日期的一个函数。因此，最终我们可以确定，直杆的太阳影子长度受直杆长度、所在地的经纬度、日期和地方时间这些参数共同影响。为了进一步确定各参数对影子长度的影响情况，我们可以使用控制变量法，分析影子长度在各参数下的变化规律，并在MATLAB中编程画出相应的变化曲线。我们在此处直接使用问题一中的直杆作为研究对象，杆长3m，日期为2015年10月22日，时间为北京时间9:00，地点为北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒。3.3.1影子长度随纬度变化规律控制除纬度外的其他因素不变，让纬度从南纬90°到北纬90°变化，使用MATLAB绘制出相应的变化曲线如下：图5影子长度随纬度变化曲线8图中横轴表示纬度（°），纵轴表示影子长度（m）。从图中可得，影子长度随纬度的变化规律是：从南纬90°开始，随着纬度减小影子长度相应减少，直至南纬10.4°（太阳直射点），影子长度变为0，之后影子长度随纬度减小而增加，直至赤道为止；从赤道开始向北纬度逐渐增加，影子长度继续增长，直至北纬79.6°出现极夜现象，影子长度为无限大，之后纬度继续增大则太阳高度角为负，由影子长度变化模型可知，此时影子长度为负。3.3.2影子长度随经度变化规律控制除经度外的其他因素不变，让经度从西经180°到东经180°变化，使用MATLAB绘制出相应的变化曲线如下：图6影子长度随经度变化曲线图中横轴表示经度（°），纵轴表示影子长度（m）。从图中可得，影子长度随经度的变化规律是：影子在黄昏（西经115°）和早晨（东经75°）时候最长，为无限大，从西经115°到东经75°是夜晚，太阳高度角为负，故由影子长度变化模型得出影子长度为负，但实际上夜晚影子长度应为0；从东经75°到西经115°是白天，影子长度随经度的变化先逐渐减小直至东经165°后逐渐增加。3.3.3影子长度随时间变化规律控制除时间外的其他因素不变，让时间从0点到24点变化，使用MATLAB绘制出相应的变化曲线如下：9图7影子长度随时间变化曲线图中横轴表示时间（小时），纵轴表示影子长度（m）。从图中可得，影子长度随时间变化规律是：一天中，早晨（6点）和黄昏（18点）影长长度为无限大。而从18点到6点期间是夜晚，太阳高度角为负，故由影子长度变化模型得出影子长度为负，但实际上夜晚影子长度应为0；从6点到18点期间是白天，影子长度随时间增加先逐渐减短直至正午12点后逐渐增加。3.3.4影子长度随日期变化规律控制除日期外的其他因素不变，让日期从该年第一天到最后一天变化，使用MATLAB绘制出相应的变化曲线如下：图8影子长度随日期变化曲线10图中横轴表示天数（天），纵轴表示影子长度（m）。从图中可得，影子长度随日期变化规律是：从1月1日（第1天）开始，随着日期一天天地增加，影子会越来越短，直到6月22日（第174天）影子达到一年中的最短，之后随着日期一天天地增加，影子会越来越长，直至12月22日（第357天）影子长度达到最大。然后随着日期一天天地增加，影子长度会越来越短。3.3.5影子长度随杆长变化规律控制除杆长外的其他因素不变，让杆长从1m到10m变化，使用MATLAB绘制出相应的变化曲线如下：图9影子长度随杆长变化曲线图中横轴表示杆长（m），纵轴表示影子长度（m）。从图中可得，影子长度随日期变化规律是：直杆的长度越长，影子长度越长。3.4模型的求解问题一要求我们画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆太阳影子长度的变化曲线。我们可以直接将上述的数据代入模型中进行求解。利用MATLAB编程计算，求得结果如下：11时间影子长度（m）时间影子长度（m）9:006.2712:303.709:305.2713:003.9210:004.5913:304.2810:304.1214:004.8311:003.8214:305.6211:303.6515:006.8012:003.62图10直杆的太阳影子长度变化曲线4问题二模型的建立和求解4.1问题二的分析问题二要求我们根据直杆的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。首先，我们可以通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。由于未知直杆的长度，所以我们考虑对数据进行标准化处理，消除直杆长度对影子长度的影响。之后，我们可以任意选取某一经纬度为假设采样点，使用问题一中建立的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，通过观察其拟合结果，我们可以认为拟合度较高的假设采样点为原始数据的采样点。33.544.555.566.579:009:129:249:369:4810:0010:12