学而思杯四年级试卷详解

2017第十一届学而思杯四年级试题详解一、填空题Ⅰ（每题8分，共80分）1.计算（1）161.740.3．（2）651.7351.7．【答案】（1）22；（2）170【考点】小数巧算【解析】（1）加减法凑整（2）提取公因数2.如下图，每个小正方形的面积为1，则图中“2017”的面积是．【答案】34.5【考点】格点多边形【解析】面积为1的小正方形有30个，面积为0.5的小三角形有9个．3.甲乙丙丁四人排成一行拍照，有种不同的排法．【答案】24【考点】加乘原理【解析】乘法原理即可快速解决：432124（种）．4.已知五位数403□□是99的倍数，请问这个五位数是．【答案】40392【考点】整除特征【解析】方法一：99的整除特征，从右往左两位一段求和，和为4+3+□□，是99的倍数，可以推出=994392□□－－．方法二：试除法，40399994087，40399740392．5.学而思在淘宝上买书架，高书架100元一个，矮书架80元一个，最后花了960元买了10个书架，其中高书架有个．【答案】8【考点】鸡兔同笼【解析】假设法解决：假设全是矮书架，那10个矮书架共需8010800（元），比960元少了960800160－（元），每把一个矮书架换成高书架，多花1008020－（元），所以高书架有160208（个）．6.艾迪、薇儿和大宽一共买了960元的零食，已知艾迪支付了总费用的一半，薇儿比大宽多支付了100元，那么大宽付了元．【答案】190【考点】和差倍问题【解析】艾迪支付了9602480（元），所以薇儿和大宽共支付了剩下480元，其中薇儿多支付100元，所以用和差问题，推出大宽付了4801002190（－）（元）．7.甲乙两人从相距1000米的A、B两地同时出发，相向而行，甲每秒能走3米，乙每秒能走2米，秒后两人将相遇．【答案】200【考点】相遇问题【解析】路程和÷速度和=相遇时间．8.只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，例如：2、3、5、7、11、13；那么90到100之间有个质数．【答案】1【考点】因倍质合【解析】质数为97．9.如图所示，圆圈中分别填入1到5这5个数，每个三角形顶点上的三个数之和都是10，那么中间圆圈A上填的数是．【答案】5【考点】数阵图【解析】两个三角形顶点上所有数之和为10×2=20，比1234515多了5，而圆圈A正好被算了两次，所以圆圈A上填的是5．10.下图中，每个小正方形的面积为1，请问图中面积为4的长方形（包括正方形）共有个．A【答案】12【考点】图形计数【解析】面积为4的长方形分为2×2的正方形和1×4的长方形，前者有8个，后者有4个．二、填空题Ⅱ（每题9分，共36分）11.下图是一个乘法竖式，最后的乘积结果为．0×4719□□□□□□□□□□□□□□□【答案】94799【考点】数字谜【解析】个位分析法推出第一个乘数个位为7，进而推出第一个乘数十位为1，此时第一个乘数乘7为五位数，乘4为四位数，这样的乘数只可能是2017，20174794799．12.甲乙丙三个小朋友参加学而思杯考试，满分200分，最后三个人得分各不相同，三个人总分正好能被20和17整除，请问分数最高的甲至少得分．【答案】115【考点】最值问题【解析】三人总分最高为2003=600（分），而这个总分正好被20和17整除，所以总分为2017340（分），此时要求所有人得分各不相同，并且分数最高的人得分尽量低，此时应尽量平分，34031131，再稍作调整，得到三人分数分别为112，113，115．13.某印刷厂接到订单要印刷一批书，如果每天印刷30本，则会比规定时间晚4天完成任务；为了如期完成任务，印刷厂决定每天多印刷5本，这样刚好能在规定时间完成印刷，那么印刷厂总共要印刷本书．【答案】840【考点】盈亏问题【解析】经典盈亏变形题目，把天数变得一样多即可，这儿我们把时间都统一为规定时间，将第一次多的4天给去掉，这样第一次就会比订单要求少印430120（本），再用总差÷每份差=份数，得出天数为120÷5=24（天），再用30244840（）（本）或30524840（）（本），即可算出答案．14.如图所示，D是AB的中点，E为BC边靠近B点的三等分点，已知三角形ADF的面积为3，三角形CEF的面积为8，那么三角形ABC的面积为．【答案】30【考点】等积变形【解析】三角形DBF和三角形ADF等高，面积相等，都为3；三角形BEF和三角形CEF等高，前者为后者的一半，即824，此时得出大三角形CDB面积为84315，大三角形ACD与三角形CDB等高，面积相等，都为15，所以三角形ABC面积为30．三、填空题Ⅲ（每题10分，共40分）15.如下图所示，在三角形中内接一个正方形和一个三角形，得到一个新的图形，我们称之为一次操作，下图为两次操作之后的结果，那么5次操作后，得到的图形里，共能找到个三角形．【答案】31【考点】归纳与递推【解析】原来有1个，每次操作后，三角形增加6个，所以5次操作后变为16531（个）16.好未来小学展开了一项名叫“我最喜欢的学科”的调查，问卷上只有数学和英语两个选项，学生们可以给自己喜欢的学科打勾（可以不选）；最后发现，有1000人参与了这次调查，共有1300个勾，其中只喜欢数学的有100人，喜欢英语的学生中有一半同样喜欢数学，那么只喜欢一门学科的有人．【答案】500【考点】容斥原理/鸡兔同笼【解析】根据容斥原理知道，所有学生分为4类：只喜欢数学，只喜欢英语，两门都喜欢，CBADEF83两门都不喜欢；其中把只喜欢数学的100人去掉，还剩900人，勾还剩13001001200（个）；设两门都喜欢的有x人，那么只喜欢英语的也有x人，两门都不喜欢的有9002x（－）人，两门都喜欢的最后打了2x个勾，只喜欢英语的打了x个勾，两门都不喜欢的最后没有打勾；所以列出方程21200xx，算出400x，所以只喜欢数学的100人，只喜欢英语的400人，只喜欢一门的为100400500（人）．17.将从1开始的连续自然数按规律写进如下表格中，每个格子只能填一个数字：123456789101112131415…………………如果一直写下去，肯定会在某行出现连续的两个数字“0”，我们把这样连续两个“0”叫做“双黄蛋”，那么第三个“双黄蛋”出现在第行．【答案】156【考点】页码问题/周期问题【解析】数表规律为：从1开始连续自然数，每个数字占一格，写7个数字就换行；第一个“双黄蛋”出现在写100的时候，第二个“双黄蛋”出现在写200的时候；第三个“双黄蛋”应该出现在写300的时候，不过以防万一，我们算下100、200和300，他们的“0”是否在同一行里，此处我们算下300后一个“0”在哪个位置：1~9：9个数字；10~99，180个数字；100~300，2013603（个）数字，所以后一个“0”是第9180603792（个）数字，算下这个数字的位置，79271131，发现写300时，后一个“0”在第一列，前一个“0”在上一行最后一列，两个“0”不在同一行，所以不符合“双黄蛋”的要求．同样方法，可以推出100和200都是符合要求的；所以第三个“双黄蛋”只能出现在写400的时候，这时会再多写100个三位数，即多写300个数字，所以写400时，后一个“0”是第7923001092（个）数字，用周期问题算出位置：10927156，所以第三个“双黄蛋”出现在第156行．18.右图中，三角形ABC是一个直角三角形，角ABC是90度，AB=6，BC=8，AD=13，BC和AD平行，BD和CE平行，BF和DE平行，那么阴影部分面积为．13FEDCBA86【答案】24【考点】等积变形【解析】如下图进行三次等积变形，三角形DEF面积等于三角形BDE的面积，三角形BDE的面积等于三角形BCD的面积，三角形BCD的面积等于三角形ABC的面积，三角形ABC面积为68224，因此三角形DEF面积为24．四、填空题Ⅳ（每题11分，共44分）19.已知三位数𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅，交换数字顺序后得到另外两个三位数𝑏𝑐𝑎̅̅̅̅̅和𝑐𝑎𝑏̅̅̅̅̅，这三个三位数恰好组成一个等差数列，并且a=1，𝑏＜𝑐，求𝑏𝑐̅̅̅=．【答案】48【考点】位值原理【解析】方法一：枚举法尝试，从𝑏=1开始尝试；方法二：位值原理解决2×𝑏𝑐𝑎̅̅̅̅̅=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅+𝑐𝑎𝑏̅̅̅̅̅，位值原理得210010)(10010)(10010)bcaabccab（，..整理得20020211011101bcaabc；..继续整理得：18910881bac，743bac，将a=1代入得743bc，最后尝试得𝑏=4，𝑐=8，𝑏𝑐̅̅̅=48．20.甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的2倍，两人相遇后继续前行，各自到达B、A两地后立即返回，甲到达B地后速度减半，乙到达A地后速度翻倍，最后在C点相遇，已知A、B两地相距300米，请问A、C两地相距米．【答案】100【考点】相遇问题【解析】我们一段一段的分析路程，即可解决这个问题：刚开始甲的速度是乙的2倍，所以第一次相遇时，路程也应该是2倍的关系，甲走了200米，乙走了100米；甲再往前走100米即可到达B点，此时乙走的路程为甲的一半，即50米；当甲到达B点后，速度减半，此时甲乙速度相等，乙再走150米到A地，此时甲也走了150米；最后乙速度翻倍，变为甲的2倍，所以最后150米的距离，甲走了50米，乙走了甲的2倍100米，最后如图所示，AC距离100米．68ABCDEF1313FEDCBA8613FEDCB86A21.有6个数字2、3、4、5、6、7，从中选择4个互不相同的数字，组成一个四位数𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅，关于这个四位数，艾迪、薇儿、博士和大宽有以下的对话：艾迪：“这个四位数是63的倍数．”薇儿：“前两位𝑎𝑏̅̅̅是一个质数．”博士：“两位数𝑏𝑑̅̅̅̅是一个质数．”大宽：“后两位𝑐𝑑̅̅̅是一个平方数．”已知他们之中只有3人的对话是正确的，所以𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅是．【答案】4725【考点】因倍质合/整除特征【解析】对于这类问题，我们着重于去找出矛盾，此处看博士和大宽的对话，根据博士的话，𝑏𝑑̅̅̅̅是一个质数，𝑑只能是3、7；而根据大宽的对话，𝑐𝑑̅̅̅是一个平方数，𝑑只能是4、5和6，此时两人之间必有一人说错，所以艾迪和薇儿说的都是对的；根据艾迪的话，此数是63的倍数，即同时被7和9整除；根据被9整除，这个四位数数字和为9的倍数，而我们发现任选四个数字，和最小为234514，最大为456722，所以这四个数字之和只能为18．下面我们讨论下博士和大宽到低谁对谁错；如果博士对，那么𝑎𝑏̅̅̅和𝑏𝑑̅̅̅̅都是质数，𝑏和𝑑一个选3，另一个选7，此时根据数字和为18，可以轻易推出𝑎和𝑐一个选2，另一个选6；此时试验下来，𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅可能为2367、6723，两个都不是7的倍数，排除这种可能，所以博士的对话是错的，大宽的对话才是对的，𝑐𝑑̅̅̅是一个平方数．观察后两位𝑐𝑑̅̅̅是一个平方数，只可能是25、36、64；如果𝑐𝑑̅̅̅是25，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和7，此时𝑎𝑏̅̅̅只能是47，四位数4725是7的倍数，符合条件；如果𝑐𝑑̅̅̅是36，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和5，或者2和7，然而4和5或者2和7都无法组出质数，不符合条件，排除；如果𝑐𝑑̅̅̅是64，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为3和5，此时𝑎𝑏̅̅̅是个质数，只能是53，四位数5364不是7的倍数，不符合条件，排除；所以答案是4725．22.黑板上从1开始写了很