高中数学基本不等式课件

§3.4基本不等式:学习目标：1．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程．2．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个正数等．3．熟练掌握基本不等式(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．2baab2baabICM2002会标赵爽：弦图ADBCEFGHab22ab不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当a=b时，等号成立。注意：（1）两个不等式的适用范围不同。（2）称为正数a、b的几何平均数称为它们的算术平均数。zxxkab2ab例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？Ex1:已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？结论1：两个正数积为定值，则和有最小值解：设这个矩形菜园长、宽各为xm，ym；所用篱笆为Lm；故xy=100；L=2x+2y=2（x+y）≥4=40；（当且仅当x=y=10时，等号成立）；故当这个矩形菜园长、宽各为10m时，所用篱笆最短；最短的篱笆是40m．最小值是20m例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?结论2：两个正数和为定值，则积有最大值解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2x+2y=36．S=xy≤=81，当且仅当x=y，即：x=9，y=9时，面积S取得最大值，且Smax=81m2．所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，面积最大为81m2．22yx长为5cm，宽也是5cm时，面积最大为25cm2（1）a和b都必须是正数（2）a与b的和或积必须是常数（定值）（3）等号成立的条件必须成立定理：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正二定三相等（1）a和b都必须是正数（2）a与b的和或积必须是常数（定值）（3）等号成立的条件必须成立定理：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正二定三相等.2,2121:;1,0)1(原式有最小值解的最值求已知xxxxxxx例3.判断一下解题过程的正误.221,11,2121:;1,21)2(22222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时已知.,2,4.4,4424:.4,3)3(等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求已知xxxxxxxxxx____;94,____,0)1(有最小值时则当若aaaa____;lglg,20,)2(的最大值满足正数yxyxyx.____,22,,)3(的最大值是且都为正数xyyxyx看谁做得快2：求以下问题中的最值2321122课下思考____;141,1)1(的最小值是设xxx4(1).1,____.1xxx变式设的最小值是____;)1(,10)2(的最大值是则函数设xxyx1(2).0,(12)____.2xyxx变式设最大值是例4.求以下问题中的最值451418小结1、当a，b∈R时，2、当a，b∈R+时，等号成立的条件均为：a=b3、两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。4、一正二定三相等。222abab2abab222abab课堂练习：1.已知x0，若的值最小，则x为（）.A．81B．9C．3D．162.若实数a，b，满足a+b=2，则的最小值是（）.A．18B．6C．D．3.已知x≠0，当x=____时，的值最小，最小值是____.4.做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长为__，宽为__时，用纸最少.81xx2281xx33ab3m2332BB3184m4m课后作业1.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？