相似三角形的性质典型例题3--辅助线的作法

旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640001旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.相似三角形的性质--添加辅助线的方法二.与相似三角形有关的辅助线（一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线（二）其他辅助线的做法举例例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．分析：欲证BC2＝2CD·AC，只需证BCACCDBC2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴BCACCEBC，∴BCACCDBC2∴BC2＝2CD·AC．证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC∴BCCECDBC即BCACCDBC2∴BC2＝2CD·AC．证法三（构造BC21）：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=BC21．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．ABCDEABCDEABCDEABCD旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640002旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.∴BCACCDCE即BCACCDBC21．∴BC2＝2CD·AC．证法四（构造BC21）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=BC21．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴ECACCDBCJ即BCACCDBC21．∴BC2＝2CD·AC．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD中，BCAD//，ADBC3，E是腰AB上的一点，连结CE（1）如果ABCE，CDAB，AEBE3，求B的度数；（2）设BCE和四边形AECD的面积分别为1S和2S，且2132SS，试求AEBE的值（1）设kAE，则kBE3解法1如图，延长BA、CD交于点FBCAD//，ADBC3，AFBF3kAF2，E为BF的中点又BFCECFBC，又BFCFBCF为等边三角形故60B解法2如图作ABDF//分别交CE、CB于点G、FABCDE旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640003旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.则DFCE，得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF为等边三角形故601B解法3如图作ECAF//交CD于G，交BC的延长线于F作ABGI//，分别交CE、BC于点H、I则GICE，得矩形AEHGCEAF//3AEBECFBC，又ADBC3ADCF，故G为CD、AF的中点以下同解法1可得CGI是等边三角形故601B解法4如图，作CDAF//，交BC于F，作CEFG//，交AB于G，得平行四边形AFCD，且ABFG读者可自行证得ABF是等边三角形，故60B解法5如图延长CE、DA交于点F，作CDAG//，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形AGCD可证得A为FD的中点，则kAH2，故601得ABG为等边三角形，故60B解法6如图（补形法），读者可自行证明CDF是等边三角形，旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640004旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.得60FB（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设SSBCE3，则SSAECD2四边形解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF，连结AC，则ADDF2设xSACD，则xSSACE2，xSCDF2由ACFABCSS得，xxxss223，sx45sxsSACE4324433ssSSAEBEACEBCE解法2（补形法）如图，延长BA、CD交于点F，91ABCFADSSsSSSFADABCDFAD581梯形sSFAD85，sssSFEC821285，又sSEBC387BECFBCSSBEEF设m8BE，则m7EF，m15BF，m5AFm2AE，4AEBE解法3（补形法）如图旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640005旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.连结AC，作ACDF//交BA延长线于点F连结FC则FAD∽ABC，故AFAB3（1）ACFACDSS，FECAECDSS四边形23AECDBCEFECBECSSSSEFBE四边形故AFAEAFAEEFBE33)(332（2）由（1）、（2）两式得AEBE4即4AEBE解法4（割补法）如图连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G，如图，过E、A分别作高1h、2h，则ADCG且AECGAECDSS四边形四边形，sSSABCDABG5梯形21212153hBGhBCSSABGEBC，又43BGBC5421hh，54ABBE，故4AEBE说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，ADAF31，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640006旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.解法1：延长FE交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BCAD//，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵ADAF31，∴BCAF31，即CHAF41．∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH，∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．解法2：如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，DCAB//，即AB∥MC，∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵ADAF31，∴AF：FD=1：2，∴AE：MD=1：2．∵DCABAE2121．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640007旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.解析：取CF的中点G，连接BG．∵B为AC的中点，∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，∴F为DG的中点．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4，∴AF：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．解法1：过O点作OM∥CB交AB于M，∵O是AC中点，OM∥CB，∴M是AB的中点，即aMB21，∴OM是△ABC的中位线，bBCOM2121，且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE，∴EMBEOMBF，即cacbBF221，∴cabcBF2.解法2：如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴AEBEAGBF．即cacBFbBF，∵cacbBF2∴cabcBF2.旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640008旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.解法3：延长EO与CD的延长线相交于N，则△BEF与△CNF的对应边成比例，即CNBECFBF．解得cabcBF2.例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：CDBDACAB．分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．证法1：如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．在△BCE中，∵DA∥CE，∴AEBADCBD①又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE．代入②式得ACABDCBD．分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．证法2：如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．旗帜金榜（北京）教育科技有限公司烟台分公司电话：[phone]传真：[phone]地址：烟台市芝罘区西盛街28号第一大道1402邮编：2640009旗帜金榜（北京）教育科技有限公司FlagEducation(Beijing)TutoringServiceInc.于是EA=ED．又∵DCBDEABE，∴EABEEDBEACAB，∴CDBDACAB.分析3欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．证法3：如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．又∵ACBEDCBD，∴CDBDACAB.分析4由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．证法4如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥A