递推数列求通项公式的习题

高考中通项公式na求法题型分类前言：数列通项公式的求法一直以来都是高考数列题的难点，现在我总结出来一些高考常考的几个类型题希望能给大家带来帮助。这些题都很经典希望同学们能够认真体味，发现其中的奥秘！叠加法：类型1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用叠加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。变式:已知数列1}{1aan中，nnnaa31（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.叠乘法：类型2nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。变式:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。构造法：类型3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.变式:在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；提高1：（除变量）已知数列na中，11a,1123nnnaa，求na提高2：（取对数）已知数列｛na｝中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na提高3：（取倒数）已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。类型4递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS例：已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.变式:（2006，全国I,理22,）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，3,2,1n求首项1a与通项na；变式:已知正项数列na，其前n项和Sn满足65102nnnaaS且1531,,aaa成等比数列，求数列na的通项公式na类型5周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为___________。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（）A．0B．3C．3D．23同步练习一．选择题1、数列na的前n项和为23nnSa，则na是（）A．等比数列B．等差数列C．从第2项起是等比数列D．从第2项起是等差数列2、数列na中，11a，12,()2nnnaanNa，则5a（）A．25B．13C．23D．123、已知数列an中，a13且aann211，则此数列的通项公式为A．123nB．n2C．52nD．12n4、在数列na中，11a，0na，4221nnaa，则naA．34nB．12nC．34nD．12n5、在等比数列na中，若0na，6491aa，2064aa，则naA．22nB．n82C．22n或n82D．n22或22n6、数列na的前n项和252nSnn，则na的前10项和10TA．60B．50C．54D．58二．填空题7、数列na的前n项和114nnSa，则na．8、数列na中，522121212133221naaaann，则na．9、数列na中，11a，121,(2)nnaann，其通项公式na=．10、数列na中，11a，2n时，1222nnnSSa，则na．三．解答题11、数列na的前n项和1,()nnSanN，12a，求nnaS和．12、数列na中，21a，naann21，1n，求其通项公式na．13、设数列na为等差数列，数列nb为等比数列，111ab，243aab，342abb，求na，nb的通项公式．14、（2012年高考（广东理））设数列na的前n项和为nS,满足11221nnnSa,n*N,且1a、25a、3a成等差数列.(Ⅰ)求1a的值;(Ⅱ)求数列na的通项公式;1.解析:(Ⅰ)由12123213232725aaaaaaaa,解得11a.(Ⅱ)由11221nnnSa可得1221nnnSa(2n),两式相减,可得122nnnnaaa,即132nnnaa,即11232nnnnaa,所以数列2nna(2n)是一个以24a为首项,3为公比的等比数列.由1223aa可得,25a,所以2293nnna,即32nnna(2n),当1n时,11a,也满足该式子,所以数列na的通项公式是32nnna.．（2013年高考大纲卷（文））等差数列na中,71994,2,aaa(I)求na的通项公式;(II)设1,.nnnnbbnSna求数列的前项和【答案】(Ⅰ)设等差数列{}na的公差为d,则1(1)naand因为719942aaa,所以11164182(8)adadad.解得,111,2ad.所以{}na的通项公式为12nna.(Ⅱ)1222(1)1nnbnannnn,所以2222222()()()122311nnSnnn.1．（2013年高考湖北卷（文））已知nS是等比数列{}na的前n项和,4S,2S,3S成等差数列,且23418aaa.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数n,使得2013nS?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)设数列{}na的公比为q,则10a,0q.由题意得2432234,18,SSSSaaa即23211121,(1)18,aqaqaqaqqq解得13,2.aq故数列{}na的通项公式为13(2)nna.(Ⅱ)由(Ⅰ)有3[1(2)]1(2)1(2)nnnS.若存在n,使得2013nS,则1(2)2013n,即(2)2012.n当n为偶数时,(2)0n,上式不成立;当n为奇数时,(2)22012nn,即22012n,则11n.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{21,,5}nnkkkN.（2013年高考湖南（文））设nS为数列{na}的前项和,已知01a,2nnSSaa11,nN(Ⅰ)求1a,2a,并求数列{na}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nna}的前n项和.【答案】解:(Ⅰ)11111121.SSaanaS时，当.1,011aa11111111222221nnnnnnnnnaaaaSaaSaassan时，当-.*,221}{11Nnaqaannn的等比数列，公比为时首项为(Ⅱ)nnnnqanqaqaqaqTanaaaT321321321321设1432321nnanaaaqT上式左右错位相减:nnnnnnnnnaqqanaaaaaTq21211)1(111321*,12)1(NnnTnn.2．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列na的前n项和为nS,满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列.(1)证明:2145aa;(2)求数列na的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1223111112nnaaaaaa.【答案】(1)当1n时,22122145,45aaaa,21045naaa(2)当2n时,214411nnSan,22114444nnnnnaSSaa2221442nnnnaaaa,102nnnaaa当2n时,na是公差2d的等差数列.2514,,aaa构成等比数列,25214aaa,2222824aaa,解得23a,由(1)可知,212145=4,1aaa21312aana是首项11a,公差2d的等差数列.数列na的通项公式为21nan.(3)1223111111111335572121nnaaaaaann11111111123355721211111.2212nnn3．（2013年高考安徽（文））设数列na满足12a,248aa,且对任意*nN,函数1212()()cos-sinnnnnnfxaaaxaxax满足'()02f(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅱ)若122nnnaba（）,求数列nb的前n项和nS.【答案】解:由12a248aa1212()()cos-sinnnnnnfxaaaxaxax1212--sin-cosnnnnnfxaaaaxax（）121'()--02nnnnfaaaa所以,122nnnaaana是等差数列.而12a34a1d2-111nann（）(2)111122121222nnnannbann（）（）（）111-22122121-2nnnnS（）（）211=31-31-22nnnnnn（）4．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列na的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求na的通项公式;(Ⅱ)求14732naaaa.【答案】5．（2013年高考江西卷（文））正项数列{an}满足2(21)20nnanan.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令1(1)nnbna,求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】解:(21)20nn2nnnn（1）由aa得（a-2n)(a+1）=0由于{an}是正项数列,则2nna.(2)由(1)知2nna,故11111()(1)(1)(2)2(1)nnbnannnn11111111(1...)(1)222312122nTnnnnn6．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}na的前n项和nS满足30S,55S.(Ⅰ)求{}na的通项公式;(Ⅱ)求数列21211{}nnaa的前n项和.【答案】(1)设{an}的公差为d,则Sn=1(1)2nnnad.由已知可得111330,1,1.5105,adadad解得n=2-.naan故的通项公式为(2)由(I