指数函数与对数函数的关系解读

指数函数与对数函数的关系顾湜一、教材分析：1．地位与作用：本课取自普通高中课程标准实验教科书数学1（必修人民教育出版社B版）第三章第二节第三小节。指数函数与对数函数的关系，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的。本教材淡化了求反函数的方法，强化了由指数函数与对数函数的关系理解和解释反函数概念的过程。本节属于独立的一节，但在对指数函数与对数函数性质的比较上,在对函数概念的进一步理解上都具有举足轻重的地位。2．教学重难点：（1）教学重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较及对反函数概念的理解。（2）教学难点：反函数的概念。3．教学目标（1）知识与技能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解；明确指数函数与对数函数互为反函数；理解反函数的概念，掌握互为反函数图像之间的关系。（2）过程与方法从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力、数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。（3）情感态度与价值观引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。4．学情分析学生已经掌握了指数函数和对数函数的图像以及性质，这为学习指数函数与对数函数的关系打下了良好的基础。因此，学习过程中，根据指数函数与对数函数的图像，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。5．教学方法与手段（1）教学方法层层设问，启发思维，激发兴趣。采用以观察图形、发现问题、探究原因、归纳总结、巩固提高为线索的探究式教学方法。（2）教学手段采用多媒体辅助教学，突显数形结合思想。二、教学设计（一）课前准备为学生展示雪花、彩虹、筷子、天安门的图片。教师总结：无论是秀美的自然景观还是令人叹为观止的人文景观，都是生活中赋予人类的奇迹。【设计意图】联系实际，激发学生的兴趣（二）发现对称1.要求学生发现上述图片的对称关系，进而引出数学中也存在很多对称关系，并要求学生说出数学中熟悉的对称关系。例如：二次函数关于对称轴成轴对称、偶函数关于y轴成轴对称、奇函数关于原点成中心对称。【设计意图】培养学生的观察、归纳的能力，引导学生以发现、欣赏数学美的角度学习数学，提高学习兴趣。2.判断函数2xy与1()2xy、函数2logyx与12logyx的对称关系。学生回答2xy与1()2xy图像关于y轴对称，2logyx与12logyx图像关于x轴对称。教师用几何画板为学生展示以上两对函数的图像。【设计意图】既对所学知识做出总结，又自然引出新课题。3.作函数2xy与2logyx的图像，发现他们的对称关系。要求学生在坐标纸上作出两个函数的图像，并利用投影仪投影学生作品，展示作品后给予学生鼓励。学生发现这两个函数的图像关于直线yx对称。教师利用几何画板演示两个函数的准确图像，看出他们的对称关系。【设计意图】亲自动手，体验成功的喜悦。引导学生反复观察，自觉运用数形结合思想，使学生逐一观察，细致对比，数形结合，发现对称。提问：函数2xy与2logyx关于直线yx对称，那么函数12xy与12logyx是否也具有这样的对称关系呢？函数xya与logayx是否也具有呢？教师利用几何画板演示函数12xy与12logyx的图像，发现他们确实关于直线yx对称，当a变化时，两个函数图像也关于直线yx对称。【设计意图】由特殊到一般，归纳结论。（三）解释对称引题：数学是严谨的，仅靠观察是不够的，得用严谨的数学语言证明。1.明确关于直线yx对称的点坐标具有什么关系。教师通过几何画板演示使学生观察出关于yx对称的点横纵坐标相反。【设计意图】启发学生深入探究。2.分析函数xya与logayx的内在联系，并解释对称原因。教师要求学生自由讨论【设计意图】由形的发现转入数的分析，是数形结合思想的重要体现，运用已有只是解释新问题，提高思维的深度。教师总结：loglogxyxyxaayaxyyx，指对互化，位置互换要求学生思考：两步交换顺序是否可以，即logxyxyxyayaxayx，位置互换，指对互化强调：先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称，但本质原因是x，y互换。结论：指数函数与对数函数的图像关于直线yx对称。此时，指数函数叫做对数函数的反函数，对数函数也叫做指数函数的反函数。【设计意图】由知其然到知其所以然，使学生体会思维的快乐。（四）明确定义1.引题：指数函数与对数函数之间的这种关系并不是他们所特有的，有大量的函数之间具有这样的关系，我们称他们互为反函数。【设计意图】由特殊到一般，培养归纳概括能力。2.反函数的定义：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。函数()fx的反函数通常用1()fx表示。说明：（1）前提：一一映射要求学生思考为什么一定是一一映射，并举出一些不是一一映射，既没有反函数的函数。如2yx（2）本质：x，y互换（3）记法：1()fx（4）注意：()fx与1()fx互为反函数【设计意图】深化定义，使学生记忆理解。3.举例要求学生举出一些有反函数的函数，如：一次函数，反比例函数。提问：函数5yx是否有反函数？如果有，反函数是什么？要求学生独立思考，并完成该提问。板书、几何画板相结合给出答案，并在几何画板上直观观察两函数的图像，明确对称关系：11555xyxyyxxyyx，互化，位置互换或者1555xyxyyxxyyx，位置互换，互化【设计意图】再由一般到特殊，帮助学生理解定义。（五）实战演习1.下列函数哪些有反函数？（1）()fxx（2）1()fxx（3）()71fxx（4）2()2fxx（5）2()2fxxx(1)x答案：（4）没有（1）、（2）、（3）、（5）有2.求下列函数的反函数：（1）()3xfx；（2）6()logfxx答案：（1）13()logfxx（2）1()6xfx【设计意图】遵循课本难度，设计一组习题，帮助学生全面理解概念，克服难点。将概念中的几个要点分散到每个题目中，有利于学生掌握。（六）激流勇进1.已知函数()fx的图像过（-2，1）点，则其反函数1()fx的图像过点.答案：（1，-2）【设计意图】加深学生对互为反函数的函数图像关系理解。2.判断下列函数是否有反函数，若有，求出其反函数。（1）（2）x1234y3579x0123（3）答案：（1）有反函数为：（2）有反函数为：（3）没有反函数【设计意图】学生对列表法表示函数比较陌生，也容易与对应值混淆，因此，次题虽然简单，但不容忽视。3.求下列函数的反函数。（1）21()3xfx（2）6()log(21)fxx答案：（1）131()(log1)2fxx（2）11()(61)2xfx【设计意图】这是比较难的求反函数的问题，原则上不要求学生掌握此类问题，但如果时间允许，可让学生探索。教师需要明确求反函数的步骤：（学生不要求掌握）（1）求原函数的值域；（2）自变量因变量互换；（3）得出反函数，标明定义域。（七）比一比y0149x-3-2-10123y9410149x3579y1234x0149y01233xy3logyx关系图像几何画板演示几何画板演示关于yx对称定义域R(0，+)定义域，值域互换值域(0，+)R单调性单调递增单调递增相同增减速度(1，+)逐渐变快(1，+)逐渐变慢不同在比较增减速度时，利用几何画板为学生演示。教师要求学生对照图表，比较指数函数与对数函数的关系，并思考反函数的关系，课后自由讨论，并形成小论文。【设计意图】明确指数函数与对数函数的关系。（八）小结1.指数函数与对数函数的关系2.反函数的定义（九）作业与课后思考1.总结函数图像中学习过的对称关系2.教科书106页A组题1，2小题3.课后小论文（十）闭目思考要求学生闭目，在脑海中把本节课的内容走一遍，图像、对称、概念，一一在脑海中浮现。等待铃声打响，在大屏幕上呈现一条绚丽的彩虹，鼓励学生：只要肯动脑筋，实实在在的去做，一定可以到达胜利的彼岸！【设计意图】在等待下课的同时，加深对本节课的认识。三、教学反思本节课基本完成教学任务，是一节充满了激情与生机的课堂。本节课比较成功之处就是做到了以学生为主体，让学生自主探究得出结论。引课时，采用了生活中的实例，使学生在一开始就对本节课充满学习兴趣；在讲授指数函数与对数函数的关系时，从学生已知的问题自然过渡到学生未知的领域，从而使学生在探究中发现规律，并了解原因。在介绍反函数的概念时，从特殊到一般，再从一般到特殊，符合学生的认知规律，使学生不会感觉过渡生硬。在练习的选择上，以教材为本，适当加深加宽，既强化了概念，又使学生获得了宝贵的解题经验。在最后“比一比”中，再一次点题——指数函数与对数函数的关系，并要求学生根据他们之间的关系，进一步探究反函数之间的关系以及反函数的性质，这为学生提供了很大的思维空间，尤其为学优生提供了较大的发展平台。在最后剩余的半分钟中，让学生闭上双眼，在脑海中浮现本节课所涉及的图像、对称、概念，加深对课堂内容的认识。当然，这节课也存在着一些不足之处。本节课的难点是解释指数函数与对数、函数关于yx对称的原因，在前面让学生判断具体的指数函数与对数函数时，应该先让他们思考一下对称原因，这样，在后面的解释上就会更加容易让学生理解，也节省了时间，可以完成激流勇进中的第二小题（本节课由于时间关系，本小题以及第三小题跳过未做）。