数学史的历史

汪晓勤华东师范大学数学系数学文化MathematicalCulture第7讲跨越鸿沟December09,2013Lecture7MathematicsandLiterature数学和文学乃是“互补的事业”，数学代表着收敛的创造性，文学代表着发散的创造性。——MartinDyck（1977）Lecture7MathematicsandLiterature我要说的事千真万确：要扩大生活这个分数值，与其加大分子，不如减小分母。不止如此，除非我的代数骗我，一除以零应该是无穷大。把你对报酬的要求变为零，那么整个世界都会在你的脚下。我们时代最聪明的人写得好：“确切地说，只有克制自己，才能说开始生活。”——托马斯·卡莱尔《拼凑的裁缝》Lecture7MathematicsandLiterature利用SissyJupe学习比例一事来批判葛雷硬的“事实”哲学。CharlesDickens(1812-1870)6-1文学中的数学主题狄更斯《艰难时代》(1854)Lecture7MathematicsandLiterature“他说，现在，比方这个教室就是一个国家。在这个国家里，有五千万金镑。这是不是一个富裕的国家呢？20号女生，这是不是一个富裕的国家，你是不是生活在一个繁荣的国家里呢？”“那你怎么说？”露意莎问道。“露意莎小姐，我说我不知道。我当时想，我是不可能知道这个国家是不是富裕、我是不是生活在一个繁荣国家里的，除非我知道谁拥有这些钱，是不是有一些属于我。但这与那个问题无关，答案根本就不在这个数目里，”西丝一边擦眼泪一边说道。Lecture7MathematicsandLiterature道奇森：《爱丽丝漫游奇境记》和《爱丽丝镜中奇遇记》CharlesDodgson（1832-1898,笔名LewisCarroll）Lecture7MathematicsandLiterature爱丽丝：“至少——至少我说的就是我心里想的——反正是一码事，你知道了吧！”帽子匠：“你还不如说：‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’也是一码事呢！”兔子：“你也不如说：‘我喜欢我得到的东西’跟‘我得到我喜欢的东西’也是一码事！”Lecture7MathematicsandLiterature爱丽丝掉进兔子洞之后，为了检验自己是否还记得以前知道的事情，就背起乘法口诀来：“四乘以五等于十二，四乘以六等于十三，四乘以七等于……啊，天啊！照这么背下去，永远也到不了二十啦！”Lecture7MathematicsandLiterature阿波特《平面国传奇》讲述了一个平面国知识分子——一个正方形向国人宣扬三维理论，最后身陷囹圄的故事。作者利用数学主题讽刺了维多利亚时代的社会等级制度、性别歧视以及人类的世俗偏见和墨守成规。EdwinAbbottAbbott(1838-1926)Lecture7MathematicsandLiterature81我们的女性是直线。士兵和最低等的工人阶级是等腰三角形，每条腰大约11英寸长。底边很短，常常不超过半英寸，因此顶角十分尖锐、吓人。中产阶级由等边三角形组成。专业技术人员、绅士为正方形和正五边形。再上面是贵族，分好几个层次，最低层次是六边形，其余的边数依次增大，直到拥有正多边形的光荣头衔。最后，当边数变得大很大，边长变得很小很小，以致整个图形变得与圆无异，他就进阶到圆形或僧侣阶级。这是地位最高的阶级。Lecture7MathematicsandLiterature皇帝规定每天供给我足够维持一千七百二十八个利立浦特人的肉类和饮料。以后不久我问在朝廷做官的一位朋友，他们怎样得出这样一个确定的数目。他告诉我，御用数学家用四分仪测定了我的身长，计算出我的身长和他们的比例是十二比一，由于他们的身体和我完全一样，因此得出结论：我的身体至少抵得上一千七百二十八个利立浦特人。我所需要的食物数量足够供给这么多的利立浦特人。斯威夫特《格列佛游记》Lecture7MathematicsandLiterature假如上帝存在，而且的确是他创造了大地，那么我们完全知道，他也是照欧几里得的几何学创造大地和只有三维空间概念的人类头脑的。但是以前有过，甚至现在也还有一些几何学家和哲学家，而且还是最出色的，他们怀疑整个宇宙，说得更大一些——整个存在，是否真的只是照欧几里得的几何学创造的，他们甚至还敢幻想：按欧几里得的原理是无伦如何不会在地上相交的两条平行线，也许可以在无穷远的什么地方相交。因此我决定，亲爱的，既然我连这一点都不能理解，叫我怎么能理解上帝呢？陀思妥耶夫斯基：《卡拉马卓夫兄弟》F.Dostoevsky(1821-1881)Lecture7MathematicsandLiterature只有抽取无穷小的观察单位（历史的微分，也就是，人们的个人倾向），并且找到求它们的积分的方法（就是得出这些无穷小量的总和），我们才有希望认识历史的法则。LeoTolstoy(1828-1910)托尔斯泰：《战争与和平》Lecture7MathematicsandLiterature对特尔莱斯而言，实数和虚数象征着人性中理性的一面和非理性的一面。在小说结尾，特尔莱斯面对校长、老师，慷慨陈词,把恶行比喻成虚数,它们看似不可能但又确实存在。穆西尔：《小特尔莱斯》(1906)R.Musil(1880-1942)Lecture7MathematicsandLiteratureT：每一个数，无论正还是负，其平方都是正数。所以不可能有任何一个实数会是负数的平方根。C：没错。但我们为什么不可以用完全一样的方式来计算负数的平方根呢？这当然不可能产生任何实数，正因为如此，我们把结果称为虚数。这就像有个人过去总是坐在这儿，所以我们今天仍为他放张椅子在这里，即使这个时候他死了，我们仍当作他要来一样，继续做这件事。T：但是，当你确信无疑这不可能时，你怎么还会这么做呢？C：无论如何，你继续去做，就好像并非如此一样。它可能会产生某种结果。毕竟，这与无理数——永远除不尽，无论你花费多长时间算下去，永远永远永远都不可能得到其分数部分最后的值——不同在何处呢？你怎能想像平行线会在无穷远处相交？在我看来，如果我们过于谨小慎微，那么数学就根本不存在了。德国电影：derjungeTörlessLecture7MathematicsandLiterature虚构了一个用数学来管理的极权主义国家——一统国。在这个国家，统治者（被称为“行善者”）是“万数之数”；诗歌是严格按照乘法表来写的。YevgenyZamyatin(1884-1937)扎米亚金：《我们》（1924）Lecture7MathematicsandLiterature●“积分号”宇宙飞船设计者D-503遇反政府女革命者I-330后，其理性受到了挑战。之前，D-503已觉虚数“奇怪、陌生、可怕”，他痛恨这种数，希望这种数不存在；遇I-330之后，虚数成了D-503情感与智力紊乱以及他无视国家法规的象征。作者借虚数来宣扬人类信仰、情感等所必然具有的非理性的一面。●D-503解释了一统国中衡量幸福的量化方法，建立了公式h=b/e，其中b表示bliss，e表示envy。《我们》扉页Lecture7MathematicsandLiterature第29回和31回中通过宋元数学（如开方、幻方、天元术、四元术、同余问题等）来刻画黄蓉才智过人的形象。金庸：《射雕英雄传》Lecture7MathematicsandLiterature•求五万五千二百二十五的平方根。（235）黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地下那些竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行，暗点算子数目，知她正在计算五万五千二百二十五的平方根，这时“商”位上已记算到二百三十，但见那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。黄蓉脱口道：“五！二百三十五！”那老妇吃了一惊，抬起头来，一双眸子精光闪闪，向黄蓉怒目而视，随即又低头拨弄算子。这一抬头，郭、黄二人见她容色清丽，不过四十左右年纪，想是思虑过度，是以鬓边早见华发。那女子搬弄了一会，果然算出是“五”，抬头又向黄蓉望了一眼，脸上惊讶的神色迅即消去，又见怒容，似乎是说：“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中，何足为奇？别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上，又计下一道算题。Lecture7MathematicsandLiterature•求三千四百零一万二千二百二十四的立方根。（324）这次是求三千四百零一万二千二百二十四的立方根，她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行，算到一个“三”，黄蓉轻轻道：“三百二十四。”那女子“哼”了一声，哪里肯信？布算良久，约一盏茶时分，方始算出，果然是三百二十四。那女子伸腰站起，但见她额头满布皱纹，面颊却如凝脂，一张脸以眼为界，上半老，下半少，却似相差了二十多岁年纪。她双目直瞪黄蓉，忽然手指内室，说道：“跟我来。”拿起一盏油灯，走了进去。郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺细沙，沙上画着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元”、“地元”、“人元”、“物元”等字。郭靖看得不知所云，生怕落足踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲教导，颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那是算经中的“天元之术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也无甚难处。Lecture7MathematicsandLiterature那女子沮丧失色，身子摇了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。”•九宫图（三阶幻方）Lecture7MathematicsandLiterature•杨辉四四图（四阶幻方）黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”那女子依法而画，果然丝毫不错。……⇒636260595857555452535021342454991214415361013181720195252930313235367333839404246474823242226272841446566676870727374757677787980816451837169716156111682838485868788899091929394959697989910043257911121416415368101312321182417201925229111214161510132321182417201925222733282631293230Lecture7MathematicsandLiterature•物不知数问题瑛姑……顿了顿，说道：“这第三道题呢，说易是十分容易，说难却又难到了极处。‘今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？’我知道这是二十三，不过那是硬凑出来的，要列一个每数皆可通用的算式，却是想破了脑袋也想不出。”黄蓉笑道：“这容易得紧。以三三数之，余数乘以七十；五五数之，余数乘以二十一；七七数之，余数乘十五。三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则须减去一百零五或其倍数。”瑛姑在心中盘算了一遍，果然丝毫不错，低声记诵道：“三三数之，余数乘以七十；五五数之……”黄蓉道：“也不用这般硬记，我念一首诗给你听，那就容易记了：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，余百零五便得知。”Lecture7Mathemati