集合知识点汇总与练习

1.1集合1.1.1集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I|p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。4.列举法和描述法之间的相互转换（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。【随堂练一练】一选择题1.下列每组对象可构成一个集合的是（）（A）中国漂亮的工艺品（B）与1非常接近的数（C）高一数学第一张的所有难题（D）不等式2x+3＞1的解2.下列说法正确的是（）（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合（B）0与｛0｝表示同一个集合（C）{x∈Q|bx∈𝐍}是有限集（D）{x|x∈Q且x2+x+2=0}是空集3.已知a=√3，A={x|x≥√2}，则（）（A）a∉A（B）a∈A（C）{a}=A（D）a∉{a}4.已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形5.下列各组集合中，表示同一集合的是（）（A）M={(3,2)},N={(2,3)}（B）M={2,3},N={3,2}（C）M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}（D）M={(3,2)},N={(2,4)}6.用列举法表示集合{x|x2−3x+2=0}为（）（A）{(1,2)}（B）{(2,1)}（C）{1,2}（D）{x2−3x+2=0}7.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（）（A）{x|−3𝑥11，x∈𝐐}（B）{x|−3𝑥11}（C）{x|−3𝑥11，x=2k，k∈𝐍}（D）{x|−3𝑥11，x=2k，k∈𝐙}8.设a，b都是非零实数，c＞0，y=a|a|+b|b|+c|c|可能取的值组成的集合为（）（A）{3}（B）{3,2,1}（C）{3,1，-1}（D）{3，-1}二填空题9.由实数x，-x，√x2，−√x33所组成的集合里最多有个元素。10.用列举法表示集合A={x|x∈𝐙，86−x∈𝐍}=11.集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合，则a=b=12.用符号“∈”“∉”填空：（1）0𝐍+,√2Z3√2{x|x4}（2）5{x|x=n2+1，x∈𝐍+}（-1,1）{y|y=x2}（-1,1）{(x,y)|y=x2}三解答题13.已知M={2,a,b},N={2a,a,b2},且M=N，试求a和b的值.14.已知集合M={−2，3x2+3x−4，x2+x−4}，若2∈M，求x.15.已知集合A={x|ax2−3x+2=0}.若A是单元素集合，求a的值及集合A.1.1.2集合间的基本关系一子集1.子集定义的三种语言①文字语言：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或A⊇B），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。②符号语言：对于任意a∈A，都有a∈B，则称集合A是集合B的子集。③图形语言：Venn图若集合A是集合B的子集，可用右图来表示两个集合之间的关系。★任何一个集合是它本身的子集。BA2.集合相等如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B。（A⊆B且B⊇A⟹A=B）3.真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作AB或BA（若A⊂B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集）4.子集的性质①A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集②如果A⊆B，B⊆A，那么A=B③如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C④如果AB，BC，那么AC二空集1.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.{0}、0、∅与{∅}之间的关系0≠{0}≠∅≠{∅}0∈{0}∅⊆{0}∅∈{∅}∅⊆{∅}三有限集合的子集的个数1.n个元素的集合有2n个子集2.n个元素的集合有2n−1个真子集3.n个元素的集合有2n−1个非空子集4.n个元素的集合有2n−2个非空真子集【随堂练一练】一选择题1.下列命题中，正确的有（）①空集是任何集合的真子集②若AB，BC，则AC③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A⊆B（A）①②（B）②③（C）②④（D）③④2.集合M={1,2,3}的真子集的个数是（）（A）6（B）7（C）8（D）93.已知{1,2}⊆M{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是（）（A）3（B）4（C）6（D）84.已知M={y∈𝐑|𝐲=|𝐱|}，N={x∈𝐑|x=N2}，则下列关系中正确的是（）（A）NM（B）M=N（C）M≠N（D）MN5.下列六个关系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅={∅}；④{0}=∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}，其中正确的个数是（）（A）1（B）3（C）4（D）6二填空题6.已知集合{2x,x2−x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围为7.设A={x|1𝑥2}，B={x|x−a0}，若AB，则a的取值范围为8.若集合A={x2+ax+3=0}为空集，则实数a的取值范围为三解答题9.设集合A={1,2,3},B={x|x⊆A},求集合B.10.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2−mx+m−1=0}，若B⊆A，求实数m的取值范围.11.设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B，求实数a、b的值.1.1.3集合的基本运算一并集1.并集定义的三种语言①文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集，记作A∪B.②符号语言：A∪B={x|x∈A，或x∈B}③图形语言：Venn图ABAAABB2.“或”的含义：有三种情况：①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B3.并集不是两个集合所有元素的简单拼凑，必须要满足集合元素的互异性，相同元素只能出现一次。4.并集的运算性质：①A⊆(A⋃B)；②B⊆(A⋃B)；③A⋃A=A；④A⋃∅=A；⑤A∪B=B∪A；⑥(A∪B)⊆B⇌A⊆B⑦(A∪B)⊆A⇌B⊆A二交集1.交集定义的三种语言①文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A和B的交集，记作A∩B.②符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.③图形语言：Venn图2.“所有”的含义：A∩B中的任一元素都是A和B的公共元素，A和B的公共元素都属于A∩B.3.当A和B没有公共元素时，不能说A和B没有交集，而是A∩B=∅4.交集的运算性质：①(A∩B)⊆A；②(A∩B)⊆B；③A∩A=A；④A∩∅=∅；⑤A⋂B=B⋂A；⑥A⋂B=B⇌A⊇B；⑦A⋂B=A⇌B⊇A三补集1.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，一般用字母U表示。全集是相对的，因研究问题而异。2.补集定义的三种语言：①文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。②符号语言:∁uA={x|x∈U，且x∉A}③图形语言：Venn图3.补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集。4.若x∈U，则x∈A和x∈∁uA二者必居其一。BAABAU∁uA5.补集运算性质：①A∪(∁uA)=U；②A∩∁uA=∅；③∁U∁uA=A；④∁U(A∪B)=∁uA∩∁uB；⑤∁U(A∩B)=∁uA∪∁uB【随堂练一练】一选择题1.已知集合A={x|(x−1)∙(x+2)=0}，集合B={x|(x+2)∙(x−3)=0}，则集合A∪B是（）（A）{-1,2,3}（B）{-1,-2,3}（C）{1,-2,3}（D）{1,-2,-3}2.设集合M={m∈𝐙|−3𝑚2},N={n∈𝐙|−1≤n≤3}，则M∩N=()（A）{0,1}（B）{-1,0,1}（C）{0,1,2}（D）{-1,0,1,2}3.若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x}，则满足条件的实数x有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4.已知集合M={y|y=x2+1，x∈𝐑}，N={y|y=x+1，x∈𝐑}，则M∩N等于（）（A）(0,1),(1,2)（B）{(0,1),(1,2)}（C）{y|y=1或y=2}（D）{y|y≥1}5.已知全集U={2,5,8}，且∁UA={2},则集合A的真子集的个数为（）（A）3（B）4（C）5（D）66.已知全集U={2,3,5}，集合A={2，|a-5|}，若∁UA={3}，则a的值为（）（A）0（B）10（C）0或10（D）0或-10二填空题1.设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为2.设集合A={(x,y)|x+2y=7},集合B={(x,y)|x−y=-1}，则A∩B=3.已知(1,2)∈A∩B，A={(x,y)|y2=ax+b}，B={(x,y)|x2−ax−b=0}，则a=，b=4.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，B={4,5}，则A∩∁UB=三解答题1.设全集U=R，集合A={x|x1，或x2}，集合B={x|x−3，或x≥1}，求A∩B,A∪B,∁RA,∁RB2.设集合A={x|−2𝑥−1或x1}，集合B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x−2}，A∩B={x|1𝑥≤3}，试求a，b的值.3.已知A={0,1,2}，∁UA={-3，-2，-1}，∁UB={-3，-2,0}，用列举法写出集合B.4.设全集I={2,3，x2+2x−3}，A={5}，∁IA={2,y}，求x，y的值.